巧用數形結合 優化幾何直觀

江永勝

[摘 要]在數學學習中，數形結合是重要的數學思想，也是最常用的解決問題方法之一。數形結合可以將抽象的信息、復雜的數量關系用幾何圖形直觀地呈現出來，使問題由抽象變具體、由復雜變簡單，有利于培養學生解決問題的能力。

[關鍵詞]數形結合;幾何直觀;行程問題;小學數學

“行程問題”是小學數學的教學內容之一，一般以應用題的形式出現，有著豐富的變式。下面，我就以“行程問題”的教學為例，談談如何巧用數形結合，優化幾何直觀，促進學生的數學學習，構建高效的數學課堂。

一、“行程問題”教學案例

小學階段，“行程問題”最早出現在人教版小學數學四年級上冊教材，在人教版小學數學五年級上冊第五單元中設計和編排了列方程解決“行程問題”的內容。“行程問題”具體是指與速度、時間以及路程有關的數學問題，其中的數量關系式有“速度×時間=路程”“路程÷時間=速度”“路程÷速度=時間”。在“行程問題”中，涉及的數有整數、小數和分數;設計的運動變化情況也很多，如單個物體運動、兩個或兩個以上的物體運動;運動方向有相向運動、同向運動以及背向運動。在實際教學中，教師可先基于學生已有的知識經驗，引導學生利用數形結合分析和理解題中的數量關系，找到未知數，再讓學生依據等量關系列出正確的方程，最后解決問題。為此，我對人教版小學數學五年級上冊“行程問題”的教學進行改進，巧用數形結合，優化幾何直觀，引導學生解決問題。

教學片段1：

（1）出示教材第79頁的例5。

師：題中的已知條件和要求的問題是什么？

生1：已知條件為“小林家和小云家相距4.5千米”“小林的騎車速度是0.25千米/分鐘”“小云的騎車速度是0.2千米/分鐘”，要求的問題是“兩人何時相遇”。

師：求“兩人何時相遇”是什么意思？（生答略）

師（總結）：這里的路程已經不是指一個人行駛的路程了，而是指兩個人行駛的路程之和，那么相遇時間就是指兩個人共同行駛完全程用的時間。

（2）活動：讓學生上臺演示相遇情景，并用畫線段圖的方式分析題中的數量關系。

師：小林與小云分別從相對的方向同時出發，經過一段時間后相遇，也就是行駛完了全程。

師：從線段圖中，你知道了什么？

生2：小林騎的路程+小云騎的路程=總路程。

（3）質疑。

師：現在能不能求出“小林騎的路程”和“小云騎的路程”呢？

生3：都不能求出，因為他們行駛的時間不知道。

師：他們行駛的時間一樣嗎？為什么？（生討論交流）

生4：他們是同時出發的，所以相遇時行駛的時間應該是一樣的，可以把他們行駛的時間設為x。

（4）思考分析，嘗試列方程解答問題。

（學生先小組交流，然后小組代表匯報，師根據學生代表的匯報板書）

師：（小結）“相遇問題”中有哪些等量關系？（板書：甲的速度×相遇時間+乙的速度×相遇時間=路程）

（5）課件出示線段圖（如下），引導分析思考。

師：小林與小云分別從相對的方向同時出發，經過1分鐘后，他們共走了多少千米？

師：（追問）再經過1分鐘，他們共走了多少千米？第5分鐘，他們共走了多少千米？（學生思考交流，嘗試理解：他們共走了幾分鐘，就走了幾個0.45千米）

師：（總結）“行程問題”中的等量關系為“（甲的速度+乙的速度）×相遇時間=路程和”，即“速度和×相遇時間=路程和”。

……

二、反思教學，整改提升

在學生演示相遇情景時，一位學生脫口而出：“他們撞上了！”我先是一驚，然后對“相遇”與“相撞”進行了解釋。然而，我在后面教學中出示表示相遇的線段圖時，仍有學生小聲嘀咕：“還是撞上了！”由于教學進度的原因，我對學生的這一反應沒有及時處理。課后，我不禁反思學生的這一反應：“這樣的繪圖方式是不是可以改進？要如何改進呢？”隨后，我查閱了很多資料與習題集，并搜集小學和初中數學中出現的典型的“行程問題”，運用畫線段圖的方式，嘗試解決問題。通過探究與實踐，我發現“行程問題”中多個物體的運動，除了有簡單的“相遇問題”和“追及問題”外，還有復雜的“多次相遇”“流水行船”“環形跑道”等問題，如果都通過線段圖呈現和分析，不利于學生理解題意。于是，我將教學進行了修改。

教學片段2：

師：（在學生明確題中的已知條件和問題，理解何為“相遇”后）現在能不能求出“小林騎的路程”和“小云騎的路程”呢？

生1：都不能求出，因為他們行駛的時間不知道。

師：他們行駛的時間一樣嗎？為什么？（生討論交流）

生2：他們是同時出發的，又同時停止行駛，所以相遇時行駛的時間應該是一樣的。

師：小林與小云分別從相對的方向同時出發（用不同顏色的粗細線段表示小林和小云的行駛路程），經過一段時間后相遇，也就是行駛完了全程。

師：他們的相遇地點離哪里比較近？為什么？

生3：離小云家比較近，因為小林的速度快。

生4：在相同時間內，速度越快，行駛的距離越長。

（師引導學生完成線段圖）

……

上述教學，我遵循學生的認知規律，通過多媒體創設教學情境，并充分運用直觀教學法，引導學生理解題中的數量、數量關系及關鍵詞，體現了數形結合的簡潔美，使學生真正掌握所學的數學知識。

數形結合之美在于以形助數，通過直觀分析獲得對數學本質的認識與理解。因此，在數學教學過程中，教師應注重對學生學習方法的指導，也就是通常所說的數學思想方法，只有這樣才能真正做到以不變應萬變。學習掌握和靈活運用這些數學思想方法，對學生解題能力的培養有重大作用和意義。此外，教師還要培養學生數中思形、形中覓數的意識，使學生能夠準確地構造出圖形，找到數與形的切合點，從而理解圖中蘊含的數量關系，提高解決問題的能力。

（責編 杜 華）