高觀點視角下一道中考數學試題的解法探究

陽順才 閆鋒鋒

摘 要：在菲利克斯·克萊因“高觀點下的初等數學”思想的啟發下，文章倡導：用高學段的數學知識、思想和方法來分析、解決低學段中一些綜合性的數學問題，但這兩個學段的知識的邏輯結構不能逾越學生的“最近發展區”，只是在操作上省去一些繁瑣的解題步驟.在這新鑒定“高觀點”含義的指導下，就一道中考數學試題進行案例分析，并結合課堂教學實踐，提出加強“雙基”訓練、找準學生的最近發展區、在學生獲得綜合評價的基礎之上，適當地滲透高學段的知識、思想和方法，以促進數學學科核心素養水平的達成.

關鍵詞：高觀點;新鑒定;高學段;解析法;滲透

一、“高觀點”含義新鑒定

菲利克斯·克萊因認為，數學教師應該具備較高的數學觀點，理由是觀點越高事物越顯得簡單.他告誡人們： 數學教育的改革不能采取保守的、舊式的態度，數學教育工作者的頭腦中應始終保持著近代數學的觀點，學會用現代數學來改造初等數學。美國學者吉姆·費（Jim.Fey）提出：把數學的概念、原理、技能和說理方法翻譯成可以為大多數學生所掌握的樣子，即所謂的“初等化”.這里的“初等”有兩層意思： 一是對特定的學生群體是基礎的，是可接受的;二是它是基于合理性、科學性、可行性的問題.近年來，張景中和林群兩位院士，分別以全新的方式將“微積分”初等化.張景中先生提出的初等數學里的微積分，嚴格卻不用ε-δ語言，而且用初等數學可以說清楚的語言，巧妙地用不等式化解“微分中值定理”的功能，最終將微積分初等化稱為第三代微積分。

而文章所指的“高觀點”是用高學段的數學知識、思想和方法來分析、解決低學段中一些綜合性的數學問題，但這兩個學段的知識的邏輯結構不能逾越學生的“最近發展區”，只是在操作上省去一些繁瑣的解題步驟.比如，在初中的教材中，解析幾何的思想只是在函數（一次函數、二次函數、反比例函數）部分有所滲透，用于函數的性質、函數與方程、以及函數與不等式等方面的研究，并沒有拓展.而近幾年的中考數學卷中，常常把解析幾何思想方法融入在平面幾何作為壓軸題來考察學生的數學綜合素養.學生在面對此問題時，通常只會采用平面幾何的思想方法進行作答，不僅解題的切入點不難發現，而且解題步驟繁瑣，對學生的邏輯推理、數學運算素養的要求較高，一旦學生找不到解題的切入點或邏輯推理、數學運算出現錯誤，就會造成大面積失分，從而打擊學生學習數學的自信心，同時也讓學生失去學習數學的興趣.若此類問題通過建立平面直角坐標系，運用解析幾何的初等思想進行作答，那么解題的切入點就易于找到，在解答過程中的邏輯推理就很自然、數學運算能力要求也較低。

二、典型案例分析

（2018年黔南州中考）如圖1，已知矩形，，，動點，從點出發，以的速速向點運動，直到點為止;動點同時從點出發，以的速度向點運動，與動點同時結束運動。

（4）如圖2，以點為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為 軸，長為單位長度建立平面直角坐標系，連結，與相交于點，若雙曲線過點，問的值是否會變化？若會變化，說明理由;若不會變化，請求出的值.

分析：第（1）問考查速度、時間、路程之間的關系，屬于基礎題型，意在使學生“熱身”，進入解題的狀態.第（2）、（3）問在第（1）問的基礎之上考查勾股定理的應用，屬于中等題型.這兩問之間的關系，對于數學抽象素養弱的同學來說，它們之間是相互獨立，能完成第（2）問，就會對解答第（3）問帶來啟示，但在解讀過程中，這部分同學就會將這兩問分開來思考;對于數學抽象素養較強的同學來說，這兩問之間是遞進關系，第（2）問具體化，而第（3）問在第（2）問的基礎進行一般化的抽象，那么這部分同學在解答完第（2）之后，對于第（3）問，他們就會將第（2）問的解題思路進行一般化的抽象，即用兩問的共性進行求解.解答過程如下：

解：由于點和點均為動點，所以，過點作交于點有如下兩種情況，如圖3、圖4所示：

對于這兩個問，以上解法應該是初中階段最經典的解法了，但對學生的綜合素養要求較高，尤其是數學建模素養，其實這兩個問就是考查學生的數學建模素養水平的高低，若學生能夠運用以上解法進行作答這兩個問，那么這些學生的數學建模素養已達到義務教育階段的要求水平，并基本普通高中繼續學習的較強能力.

若這兩個問，我們通過建立平面直角坐標系，求出點和點的坐標，并運用兩點間的距離公式，就可以很快求出，兩點的距離.運用解析的方法，需要學生掌握這樣三點：一是會建立適當的平面直角坐標系;二是會準確計算出點的坐標;三是知道兩點間的距離公式.第一、二點在七年級下冊就學習了，學生已有很好的掌握;而第三點需要在八年級下冊學習了勾股定理之后，運用勾股定理以及平面直角坐標系的有關知識推導出兩點間的距離公式，在總復習的最后一個階段，要加強對這些拔高知識點的記憶與理解，便于應試時的應用.用解析的思想方法求解（2）、（3）問如下：

解：如圖2，建立以點為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，長為單位長度建立平面直角坐標系.

兩種方法相比，解析法很顯然優于平面知識的解法，運用解析法回避了分類討論，整個解題過程很形象直觀.所以運用“高觀點”可以使學生的解題思維更高清晰，就可以做到居“高學段的知識、思想和方法”之高，臨“低學段的綜合問題解決”之下，為學生全面發展贏得時間和空間.

第（4）問更能體現這種居“高學段的知識、思想和方法”之高，臨“低學段的綜合問題解決”之下的“高觀點”的潛在教育價值.若此問運用初等平面幾何知識進行求解，需要利用勾股定理和點的坐標來構造線段的長度，再通過三角形相似來建立關于點的橫縱坐標之間的關系，才能完成此問的作答.而三角形相似是義務教育階段數學教材中的重點知識，這部分知識對學生而言就是難點，學生在學習或者運用這部分知識時，都有些胃難情緒，這樣造成解題心里的障礙，一旦這種障礙得不到及時的解決，就會放棄或者分析不全面，因此而失去得到高分的機會，這也就是所謂的區分題型.運用初等平面幾何知識進行求解的過程，在此不再贅述，以下我們從另外一個角度來分析此題。

由于雙曲線過點，且，這樣我們只要求出點的橫縱坐標的表達式，將點的橫縱坐標的表達式相乘，就可判斷的值是否會變化了.我們在結合圖2知道，點是直線與直線的交點，直線方程是高中階段的知識，而初中階段卻出現它的雛形，那就是一次函數，因為一次函數的圖象就是直線，而由直線到一次函數解析式，這一逆向思維，義務教育階段不作要求，那么在教學的過程中就引不起教師們的重視，導致學生失去居“高學段的知識、思想和方法”之高，臨“低學段的綜合問題解決”之下的一次體驗的機會.其實在學習一次函數圖象的時候，進行適當的拓展，“不僅要體驗一次函數的圖象是一條直線，還要讓學生體驗到平面直角坐標中一條直線的解析式就是一次函數”這就是解析幾何的關鍵之處。

以上解答過程，思路非常的清晰，這就說明學生站得高就會看得遠，需要教師具有“高觀點”意識，才能引領學生居“高學段的知識、思想和方法”之高，臨“低學段的綜合問題解決”之下的數學之美。

三、“高觀點”指導課堂教學的幾點思考

將高學段的知識、思想和方法應用到低學段的課堂教學之中，不僅要考慮學生的潛力發展方向，也要兼顧學生的基礎知識的積累，沒有扎實的基礎，再好的思想方法都將是海市蜃樓。

（一）在學生的最近發展區滲透“高觀點”下的知識、思想和方法

在課堂教學中，我不僅要分析教材，更要分析學生，了解學生已有的知識儲備以及所具備的數學思想方法，只有在這基礎之上滲透“高觀點”才能順應原有的認識結構，從而形成學生新的認知水平。

（二）在學生掌握基礎知識的前提下滲透“高觀點”下的知識、思想和方法

基礎知識和基本技能是每一個學段必須完成的“雙基”任務，也是為高學段繼續學習奠定基礎.沒有基礎知識與基本技能，就不可能思維活動以及活動經驗的積累，更不可能有應用意識和創新意識，從廣義上說“高觀點”就是一種在思維品質上的創新。

（三）在學生獲得綜合性評價的基礎上滲透“高觀點”下的知識、思想和方法

所謂的綜合性評價就是學生對某一模塊知識學習結束或某一學段所有知識的都修完的時候，這一時期的學生無論在知識儲備上，還是思維能力上都已具備必要的“雙基”知識.在這個時間點上講授高學段的知識、思想和方法，便于學生的理解，也為學生在競技考試的時候贏得更多的時間。

四、結語

“高觀點”不僅是高師教師思考的問題，也應該成為各學段教師思考的問題，教育要培養新時代的創新人才，就必須挖掘學生在每個學段的潛力，但我們也不能好高騖遠，只有加強基礎知識和基本技能的訓練、找準學生的最近發展區，在學生獲得綜合評價的基礎之上，適當地滲透高學段的知識、思想和方法，才能分析與解決當前學段面臨的問題，從而激發學生學習數學的興趣，養成良好的學習習慣，促進不同學習階段數學核心素養水平的達成。

參考文獻

[1] 菲利克斯.克萊因.舒湘芹，等，譯.高觀點下的初等數學[M].上海：復旦大學出社，2008.

[2] 張景中.不用極限怎樣講微積分[J].數學通報，2008（08）：1-9.

基金項目：文章為黔南民族師范學院教育碩士研究生教育質量工程項目《黔南水族地區初中學生數學逆商水平的調查研究》的研究成果，項目編號：2018yjszz013。