“雞兔同籠”問題與學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)

郭靖

[摘 要]“雞兔同籠”問題是我國(guó)古代數(shù)學(xué)里的經(jīng)典問題，出自《孫子算經(jīng)》，也是小學(xué)數(shù)學(xué)的拓展內(nèi)容。“雞兔同籠”問題是一類題的總述，其背后隱藏著不同的解題策略與思維。教師應(yīng)剖析由“雞兔同籠”問題延伸出來的解題思路與思考方式，探究其背后的數(shù)學(xué)思想，找到向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想的途徑，即通過“雞兔同籠”問題培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

[關(guān)鍵詞]雞兔同籠;數(shù)學(xué)思維;小學(xué)數(shù)學(xué)

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2019）14-0081-02

小學(xué)數(shù)學(xué)是義務(wù)教育的重要組成部分，小學(xué)數(shù)學(xué)教師除了講授基礎(chǔ)運(yùn)算外，還要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。數(shù)學(xué)思維是一種宏觀思維，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的積累和掌握，也是對(duì)解題方法的認(rèn)識(shí)。學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)需要數(shù)學(xué)思維的輔助，在特定的條件下，還要轉(zhuǎn)變或創(chuàng)新數(shù)學(xué)思維才能做出最佳選擇。為了更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，教師首先要有數(shù)學(xué)思維。而“雞兔同籠”問題是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的突破口，教師要切實(shí)有效地利用它，幫助學(xué)生掌握更多解題思路，從而使學(xué)生建立數(shù)學(xué)思維。

一、“雞兔同籠”問題概述

《孫子算經(jīng)》中的原題按照現(xiàn)在的理解是：籠子里有若干只雞和兔子，從上面數(shù)，有35個(gè)頭，從下面數(shù)，有94只腳，那么各有多少只兔子和雞？列式計(jì)算就是：兔子數(shù)量=（94÷2）-35=12（只），雞的數(shù)量=35-12=23（只）。這種解法叫“歸化法”，體現(xiàn)了我國(guó)古代先進(jìn)的數(shù)學(xué)思維。而現(xiàn)代教材多用“假設(shè)法”，例如題目為：雞兔共90個(gè)頭，228只腳，各有多少只雞和兔子？則可假設(shè)有90只雞，那么腳應(yīng)是2×90=180（只），比題中的腳數(shù)少228-180=48（只），又因?yàn)橥米佑?只腳，當(dāng)把兔子算成雞時(shí)，自然每只兔子都少了兩只腳，少了的腳數(shù)除以2，就是兔子的數(shù)量，即兔子有48÷2=24（只）。同理可以假設(shè)全都是兔子，用多出來的腳數(shù)算出雞的數(shù)量。

二、“雞兔同籠”問題蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維

1.猜想思維

“雞兔同籠”問題會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生“猜一猜”各有多少只雞和兔，這可以培養(yǎng)學(xué)生的猜想能力。在猜想被證實(shí)或被否定時(shí)，學(xué)生就會(huì)逐步提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，激發(fā)深入探究的興趣和動(dòng)力，奠定找到適合的解題方法的基礎(chǔ)，并在已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上對(duì)未知進(jìn)行猜測(cè)，再根據(jù)規(guī)律去求證。實(shí)際上，任何數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的開端，都是大膽猜想與開拓精神并存的壯舉。因此，猜想思維對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)有利無害，培養(yǎng)學(xué)生的猜想思維是數(shù)學(xué)教學(xué)中不容忽視的一環(huán)。

2.列舉思維

列舉即直接將猜想結(jié)果排列出來。在解決“雞兔同籠”問題時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生可以畫一個(gè)表格，將各種假設(shè)情況填入表內(nèi)，這樣思路會(huì)更清晰。學(xué)生通過觀察表格，可以發(fā)現(xiàn)某種規(guī)律，并用規(guī)律解決問題。也可以通過圖畫來列舉，即畫出雞和兔子的頭、腳的數(shù)量，再通過給所有頭匹配兩只腳，得出剩下多少只腳，就是兔子少的腳的總和，這樣兔子的數(shù)量便可以算出來了。列舉比建模更直接、快捷，也是數(shù)學(xué)建模的前提和基礎(chǔ)。

3.轉(zhuǎn)化思維

很多教材及習(xí)題集里的“雞兔同籠”問題與原題有很大不同，可以說是對(duì)原題的轉(zhuǎn)化。例如，“一個(gè)籠子里有雞和兔子，上數(shù)16個(gè)頭，下數(shù)42只腳”或“籠子里有雞和兔子共80只”等等，通過減小數(shù)量或增加條件，設(shè)置不同程度的變化，除了難易程度的轉(zhuǎn)變，也是轉(zhuǎn)化思維的體現(xiàn)。轉(zhuǎn)化思維可以指簡(jiǎn)化思維，即將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化;也可以指轉(zhuǎn)變思維，即將問題的形式轉(zhuǎn)變到更易解決的狀態(tài);還可以指抽象思維，即將相似的問題歸為一類，用同樣的方法解決。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，通過了解這些題目的異同以及轉(zhuǎn)變過程，便可以很好地掌握轉(zhuǎn)化思維，靈活地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

4.代數(shù)思維

“雞兔同籠”問題還可以利用方程式來解決，設(shè)有x只兔子或x只雞，都可以得出一個(gè)一元方程。以方程來解決問題是一種代數(shù)思維。學(xué)生擁有了代數(shù)思維，就可以運(yùn)用方程把陳述性語言轉(zhuǎn)化成代數(shù)式，溝通已知數(shù)量與未知數(shù)量解決一些較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。在小學(xué)階段，列方程和解方程是重要的基礎(chǔ)知識(shí)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)雜方程式的過渡知識(shí)。

三、有效利用“雞兔同籠”問題培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

1.強(qiáng)化思維意識(shí)

數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)重要地位，而“雞兔同籠”問題對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維有著重要意義。教師要注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，而數(shù)學(xué)思維需要深入挖掘。如果教師不認(rèn)真研讀教材、探索教材背后的思維方式，就不可能帶領(lǐng)學(xué)生去掌握數(shù)學(xué)思維。因此，教師要深刻認(rèn)識(shí)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要性，努力吃透教材、提升自我，自覺在課堂內(nèi)外向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思維。

2.選擇思維方式

數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)并不是直接要求學(xué)生熟悉數(shù)學(xué)概念，也不是把數(shù)學(xué)思維生硬地搬到課堂上。而是要遵循“潤(rùn)物細(xì)無聲”的原則，慢慢引導(dǎo)學(xué)生掌握、領(lǐng)略數(shù)學(xué)思維。學(xué)生通過探索吸取理論精華，就能逐漸內(nèi)化思路方式為思維意識(shí)，在潛移默化中形成數(shù)學(xué)思維。解決“雞兔同籠”問題需要用到轉(zhuǎn)化、列舉和猜想等多種思維，這些思維既有聯(lián)系又有區(qū)別，且有一定的特點(diǎn)。教師要選擇合適的數(shù)學(xué)思維來教學(xué)，例如猜想思維比較適用于低年級(jí)學(xué)生掌握基礎(chǔ)運(yùn)算，轉(zhuǎn)化思維則適合高年級(jí)學(xué)生用來突破自我。

總之，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是一件任重而道遠(yuǎn)的事，教師一定要注意理論與實(shí)際的結(jié)合，并利用“雞兔同籠”問題在不同的教學(xué)場(chǎng)景中調(diào)整教學(xué)目標(biāo)，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思維，學(xué)習(xí)更多的解題思路，以達(dá)到最優(yōu)的學(xué)習(xí)效果。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 馮鏡.“雞兔同籠”教學(xué)紀(jì)實(shí)與反思[J].黑龍江教育：小學(xué)，2017（5）：22-24.

[2] 陽志強(qiáng).“假設(shè)法”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐研究[J].珠江教育論壇，2017（4）：13-17.

[3] 花沐露.淺談數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的方略[J].教育研究與評(píng)論（課堂觀察），2017（3）：93-94.

[4] 孫雯莉.小學(xué)思維訓(xùn)練中數(shù)學(xué)建模思想的運(yùn)用探究[J].教師，2017（23）：43-43.

（責(zé)編 黃 露）