高中數(shù)學公式推導與應用課教學探究
——以《兩角和差的余弦公式》為例

廣東省廣州市增城區(qū)荔城中學 李 昂

在高中數(shù)學的課程中，公式推導及應用課是常見的課型，但在具體教學中卻存在著一些不夠平衡的情況：重記憶輕理解，重應用輕推導，重單個公式的鞏固輕知識網絡的構建，造成這種現(xiàn)象的原因很多：有教學進度的壓力、學生水平的限制、也有教師自身理解的局限。不久前筆者上了一節(jié)市研討課，題目是《兩角和差的余弦公式》。下面就以這節(jié)課的準備、授課、反思為例談談如何上好“公式推導及應用”課。

一、設計修改及授課

（一）引入問題

你有什么疑問或困惑嗎？有的話，帶著這些問題閱讀課本（課本P124～125）。

2.設計意圖

課本用計算塔高的應用問題作為引入，雖然有實際背景，形象生動，但是圖形稍顯復雜，表述煩瑣，基礎不好的學生反映看不懂。所以筆者只用問題1作為引入，意在用簡單的問題吸引學生注意力并為教學內容的展開做好鋪墊，但持續(xù)思考發(fā)現(xiàn)，問題的內涵不夠，與公式推導的銜接不強，可以作為問題的提出，但無法作為問題的導入。

問題2讓學生在思維活動的試探、碰撞中，探尋兩角和差三角函數(shù)公式的推導方向，對于如何尋找到使用向量作為推導工具這一點上較第一種引入更加自然，在知識體系的銜接上邏輯性也更強。

3.課堂實錄

師：問題1的結論是？

師：你是如何驗證的？

師：問題2的結果是？

師：請大家說說問題2中的兩個問題有哪些相似、有哪些區(qū)別，可以討論。

生：問題形式很像，都是求兩角差的余弦值。

生：都是用一個特殊角減一個待定角。

生：第一個可以使用誘導公式，第二個不行。

師：不能使用誘導公式的原因是？

生：第二個問題中角的終邊上的點不具有對稱關系，所以很難用三角函數(shù)的定義得到三角函數(shù)值之間的關系。

師：這就是我們從前經常講的“特殊和一般”，我們所學的誘導公式可以看作是這節(jié)公式將角特殊化后的結果，就好比集合包含關系與命題真假的關系。

師：既然從前的方法在這里無法適用，就必須尋找新的方法，我們來觀察圖，本質上現(xiàn)在探討的還是角的問題，我們還有沒有其他求夾角的辦法？

生：剛剛學習的向量可以求夾角（由于剛剛學過，學生比較熟悉）。

（二）推導公式

1.教學設計

結合已經學過的知識完成下列填空：

如右圖，在以坐標原點為圓心的單位圓O中，已知角α與角β的終邊與單位圓的交點分別為A，B，則∠AOB=∠θ=___________________。

根據(jù)三角函數(shù)的定義：若點A的坐標為（x1，y1），點B的坐標為（x2，y2），

則點A的坐標可以用α的三角函數(shù)表示為（____ ，___ ），

點B的坐標可以用β的三角函數(shù)表示為（____ ，___ ），

提醒學生思考：如果角α、β改變結果是否會發(fā)生改變，進行推導過程的嚴謹性探究。

2.設計意圖

構建主義學生觀強調“學生是以自己已有的經驗來構建現(xiàn)實的”，所以教師應當把學習者原有的知識經驗作為新知識的生長點，引導學習者從原有的知識經驗中，生長新的知識經驗，本節(jié)公式推導需要調用三角函數(shù)的定義，向量的運算等基礎知識就是學生“生長”的根基。筆者將公式的推導設計成填空形式的問題，意在降低了學習難度，讓學生在自己“經歷”中發(fā)現(xiàn)不足，積累問題，理出聽課重點，這樣在獲得一定的思想基礎的前提條件下進入課堂學習，將使課堂的“效能”大幅提高。

3.課堂實錄

第一部分：得到向量

請一位成績較好的學生講解推導過程，并指導大家完成填空。

師：語文課中我們常會給文章分段，如果把我們的證明過程進行分段的話，你會怎么分，分成幾段？（這個問題涉及對公式推導的整體理解）

生：分兩段，第一段得到向量的坐標，第二段利用向量坐標的運算公式計算。

生：學案順著填下來了，也沒多想。

師：大家說這里我們要解決的問題是什么？

生：求cos（α-β）的值啊。

師：我們期望得到的結果是什么？

生：發(fā)現(xiàn)cos（α-β）與cosα，cosβ的關系，從而利用cosα，cosβ就能求得cos（α-β）的值。

師：影響三角函數(shù)值的是角而不是點，點只是中間量，我們要抓住問題的本質，我們準備解決什么問題，這個問題的結果受什么因素影響？

第二部分：利用向量求角

另請一位同學上臺講解。

師：通過推導我們得到了一個結果，在本節(jié)開始的時候我們提到誘導公式可以看作是兩角和差特殊化以后的結果，那么現(xiàn)在我們能不能試一試，用現(xiàn)在得到的公式重新推一下誘導公式。

學生很容易就解決了，并由于發(fā)現(xiàn)了數(shù)學知識間的聯(lián)系而表現(xiàn)得有點興奮，開始的時候埋設伏筆在這里得以顯現(xiàn)的。

師：公式我們得到了，請問我們的推導過程完美嗎？

學生沒有反應，學生是很難注意到公式推導中的嚴謹性問題的，這里教師要重點引導。

師：推導過程始于學案中的圖形，那么對于這張圖大家有沒有疑問？

生：還有一個問題，如果學案中的圖里給出的不是單位圓，那么結果會有影響嗎？

師：好的，當圓的半徑為r時，看能不能推出公式。（適當變式讓學生重新推導公式，可以檢查學生對推導是否真的理解）

第三部分：鞏固與練習（略）

二、反思與建議

1.發(fā)現(xiàn)優(yōu)質素材、目光投向遠方

教材中的優(yōu)質素材具有以下特點：

（1）有利于數(shù)學能力的培養(yǎng)，數(shù)學思維的形成；

（2）具有多方向的知識貫通性，探討的效能高；

（3）挖掘成本適中，在學生能力范圍內。

教材中，“公式”常常是優(yōu)質素材的發(fā)生點，比如：導數(shù)的定義、等差、等比求和公式、三角函數(shù)誘導公式、兩角和差三角函數(shù)公式、解析幾何弦長公式等。教學中，老師們應當把公式推導重視起來，學生記不住公式，一用就錯根本原因是不知道怎么來，不理解其意義。

2.萬事開頭難，好的引入是成功的一半

公式推導的引入有很多種方式，可以情景與實踐引入，可以類比與歸納引入，也可以設疑與發(fā)現(xiàn)引入，但無論哪一種引入，都要從學生的學情出發(fā)。好的引入應當在提出問題的同時，激發(fā)學生繼續(xù)探究的欲望，控制難度，不能讓學生一上課就有“撞墻”的感覺。

3.精心設計問題，在問答中擦出火花

公式推導是教學的重點，也是難點，讓學生“好學”是教學設計的根本原則之一。教師精心設計好問題鏈，預設好學習的階梯，引導學生逐級攀登。課堂上教師的任務就是幫助學生發(fā)現(xiàn)和挖掘問題的實質，在學生的最近發(fā)展區(qū)中設計提問，引導學生進行各種嘗試并得到思路。提醒學生進行知識的遷移，完善推導的嚴謹性。

4.相信學生，課堂才能活力無限

課堂上學生能做的事，老師不要搶著做。放手讓學生去“經歷”，在“經歷”中去觀察、試探、歸納、感悟、提高。教師抽身出來，“閑”下來認真審視學生的思維活動，全身心地融入學生中，以學生的角度思考，發(fā)現(xiàn)學生思考的難點、思維的亮點、將其中有價值的及時放大到課堂，師生共同探討、挖掘。事實證明這樣的課堂處處迸發(fā)閃光點，活力無限。