例談構造法在數學競賽中的應用

湖北省武漢市武漢二中 齊韞哲

構造法在數學競賽中經常用到，它即可以訓練學生的數學思維，又可以化繁為簡，經常可以起到事半功倍的好效果。運用構造法解題，先要認真分析題目，展開豐富的聯想，從中發現可用構造法的因素，然后借助于與之相關的知識結構構造所求問題的具體形式，最后求解所構造的問題，并注意回到原來的問題中去加以說明或證明。下面結合實例分析說明常見的幾種構造法在數學競賽中的應用。

一、構造函數法

例1 已知x，y，z∈（0，1），求證：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1。（第15屆俄羅斯數學競賽題）

分析：此題的條件與結論都具有一定的輪換對稱性，然而難以直接利用分類討論法來證明，不妨利用構造法試試。

證明：構造關于x的一次函數 f（x）=（y+z-1）x+（yz-y-z+1）。

因為這里y，z∈（0，1），且有f（0）=yz-y-z+1=（y-1）（z-1）＞0，

f（1）=（y+z-1）+（yz-y-z+1）=yz＞ 0，

又f（x）是一次函數，其圖像是一條直線，所以有x∈（0，1）時，恒有 f（x） ＞ 0，

即（y+z-1）x+（yz-y-z+1）＞0， 整理得x（1-y）+y（1-z）+z（1-x） ＜ 1。

二、構造方程法

例2 設實數a，b，c滿足a2-bc-8a-7=0，b2+c2+bc-6a+6=0。求a的取值范圍是多少。（1986年全國高中數學聯賽題）

分析：通過觀察題目，展開聯想，發現可以用a來表示b+c和bc，所以可以構造以b，c為根的一元二次方程。然后利用根與系數的關系定理來求a的取值范圍。

解：由已知得b+c=±(a-1),bc=a2-8a+7，所以構造關于x的一元二次方程得x2±(a-1)x+a2-8a+7=0。

因為b，c為該方程的兩個實根，所以Δ=[±(a-1)]2-4（a2-8a+7）≥0，整理得a2-10a+9≤0，即1≤a≤9。

三、構造多項式法

例3 證明：對于同樣的整數x和y，表達式2x+3y和9x+5y能同時被17整除。（首屆IMO試題）

分析：要證明表達式2x+3y和9x+5y能同時被17整除，即要找到這兩個表達式的線性組合的一個代數式，使它們的值是17的倍數即可。

證明：構造代數式9（2x+3y）-2（9x+5y），其值等于17y，能被17整除，結合2與9均與17互素，結論得證。

四、構造向量法

分析：柯西不等式在高中數學中有著較為廣泛的應用，其定理本身有很多不同的證法，如構造一個二次函數，利用判別式法也不失為一種好的證法，但用構造向量法證明來得更簡捷明了。

五、構造圖形法

例5 若a，b，c，m，n，k＞0，且有a+n=b+k=c+m=p，求證：ak+bm+cn＜p2。（第26屆全蘇數學競賽題）

分析：通過已知條件聯想到構造一個邊長為p的等邊三角形，然后運用面積法來求證。

證明：構造一個邊長為p的等邊三角形ABC，如圖。

故有 ak+bm+cn＜p2。

點評：以上結合例題列舉了5種常見的構造法，由此可見這些方法在解題中往往可以起到化繁為簡、事半功倍的效果，但是構造法往往比較難以掌握，需要平時仔細觀察題目的已知條件與所求結論，從中找到知識結構的內在聯系，日積月累。