圓錐曲線問題中參數(shù)范圍的求法

山東省臨沂第四中學(xué) 孫國棟

1.利用圓錐曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍找不等關(guān)系。

2.橢圓問題中可以利用長短軸找不等關(guān)系:橢圓中長軸長大于短軸長，從而有a＞b。

3.利用圓錐曲線的離心率找不等關(guān)系:橢圓離心率0＜e＜1，雙曲線離心率e＞1。

4.利用一元二次方程的判別式找不等關(guān)系：直線與圓錐曲線相交，聯(lián)立直線方程與曲線方程所得一元二次方程必有兩個(gè)不等實(shí)根，即Δ＞0。

5.利用題目中的參數(shù)范圍找不等關(guān)系或者把所求問題轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的函數(shù)，然后利用函數(shù)的值域知識(shí)求解或者利用基本不等式求解。

（1）若B（0，1），求橢圓的方程；

（2）若B（0，t），求t的取值范圍。

解：（1）由題意B（0，1），A（0，-b），∠PAB＝45°，

例2 已知雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)為原點(diǎn)O，對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線為直線x=-4，若點(diǎn)（-1，a）在雙曲線C上，則實(shí)數(shù)a滿足（ ）

∴a2=4，c2=1，∴橢圓方程為

（2）設(shè)直線l的斜率為k(k≠0)，又A（2，0），則l方程為y=k(x-2)，代入①得

設(shè)B（xB,yB），則

又由（1）知F（1，0）設(shè)H（0，yH），

在△MAO中，∠MOA≤∠MAO，即|MA|≤|MO|，∴（xM-2）2

例4 （2016全國卷I理科20）設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點(diǎn)B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E。

（1）證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；

（2）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍。

解：（1）因?yàn)閨AD|+|AC|，EB∥AC，所以∠EBD≤∠ACD≤∠ADC，

所以|EB|=|ED|，所以|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|。

又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+y2=16，從而|AD|=4，所以|EA|+|EB|=4。

由題設(shè)得A(-1,0)，B(1,0)，|AB|=2，即軌跡方程為：（y≠0）。

（2）當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y=k(x-1)(k≠0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)。

當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，其方程為x=1，|MN|=3，|PQ|=8，四邊形MPNQ的面積為12。

例5 （2014新課標(biāo)1理科）已知點(diǎn)A（0，-2），橢圓E：的離心率為，F(xiàn)是橢圓的焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。（1）求E的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)A的直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程。

（2） 當(dāng) l⊥ x軸 時(shí) 不 合 題 意， 故 設(shè) l:y=kx-2，P(x1,y1)，Q(x2,y2)。

當(dāng) Δ=16(4k2-3)＞0，即