經歷建模過程把握數學本質

冷祥銀

摘 要：通過數學建模，可以針對一類問題或一種現象，抽象或描述數學本質和特征。教師要提供適合學生認知特點的現實情境，讓學生經歷觀察數學建模的過程，不斷提高學生數學學習能力。

關鍵詞：數學模型;建模過程;數學本質;數學思考;數學思維

《義務教育數學課程標準（2011年修改版）》提出：“數學課程要使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程。”學習數學知識的過程，就是學生認知外部世界，溝通外部世界與已有數學認知的聯系，不斷抽象知識經驗，建立數學模型、發現解決問題的方法，形成良好認知結構的過程。數學模型的建立，是學生抽象已有生活經驗、理解知識意義，形成知識技能的重要途徑。在小學數學教學中，如何讓學生經歷建模過程，更好地把握數學本質？筆者結合自己的日常教學實踐，與各位同仁分享這方面的探究。

一、提供現實背景，準備模型

數學教學時，教師需要從學生已有基礎出發，遵循學生的認知規律，為學生提供現實的背景，引導學生參與收集、整理信息、比較、進行抽象、提出數學問題的過程。現實背景就是學生經歷建模過程的現實原型，教師提供的現實背景要切合學生的生活實際，有利于激發學生的學習興趣，所提供的材料要避免過于單一和簡化的傾向。教學時，教師要讓學生了解現實背景材料的意義，掌握研究對象的信息，依據問題，進行問題抽象和內涵理解，用數學語言進行描述。

如教學“乘法分配律”時，教材呈現的是常見的“體育老師領取運動器材”的生活情境，作為探究“乘法分配律”的現實背景。以“四、五年級一共要領多少根跳繩？”作為主線，讓學生充分地尋找相關的條件信息：四年級有6個班，五年級有4個班，每班領24根跳繩。在學生感悟問題、理解現實背景意義的基礎上，展開探究活動。從實際情境中引出問題，引導學生用不同方法來解決問題，給予學生充分的時間和空間，讓學生自主學習數學知識，教師順勢而為，數學建模水到渠成。

二、理清數量關系，建立模型

數學模型的建立，需要抓住實際對象的本質屬性，略去非主要因素和性質，以量的描述來概括事物特征和關系，理清數量關系，建立數學結構。這里的數學結構是純數學的結構，是通過數學概念和數學符號來描述的結構。理清數量關系，需要教師引導學生經歷從“現實背景”到“數學模型”的過渡過程，是用數學概念和符號語言重構的過程，在這個過程中，深入認識事物的本質屬性，并描述出來。

如教學“乘法分配律”時，在學生已充分感悟“教師領取跳繩”現實背景的基礎上，教師引導學生從不同的角度思考，解決問題。

師：怎樣求四、五年級一共要領多少根跳繩？可以先求出什么問題？學生交流1：可以先求出四、五年級一共有多少個班？再求一共要領多少根跳繩？（6+4）×24=10×24=240（根）。學生交流2：可以先求出四、五年級各領多少根跳繩？再算出四、五年級的跳繩根數的和。6×24+4×24=144+96=240（根）。

教師引導學生仔細觀察兩個算式之間有什么聯系，學生討論得出：兩道算式的得數相等，可以寫成一個相等的式子，即（6+4）×24=6×24+4×24。教師接著讓學生比一比等號兩邊的算式有什么不同，引導學生交流并逐步歸納：兩個數的和與一個數相乘，等于這兩個數分別乘這個數，再相加。

在認識、探究乘法分配律的過程中，教師讓學生在解決實際問題的基礎上，賦予數學算式實際意義，驗證相等，調用已有經驗，進行數學建模，通過舉例驗證、反例說明，經歷抽象，概括發現數學規律。

三、把握數學本質，深化模型

在數學學習中，教師要注重引導學生把握數學本質，可變換具體的背景，促使學生抽象出類似的問題，并找到相似的結構，深化對模型的認識和理解。

如教學“乘法分配律”，在學生初步概括數學規律的基礎上，教師提出：“如何驗證你的發現？”給學生提供足夠的時間和空間，讓學生參與數學規律的驗證活動，在發展數學思維的同時，不斷提升知識水平和學習經驗值。在此基礎上，教師進一步深化數學模型，讓學生嘗試用字母來表示乘法分配律。

師：你能否用字母a、b、c分別表示這三個數，把這些算式表示的規律反映出來？

學生嘗試用字母表達，教師及時幫助糾正。

師：比一比，用字母式子表示，有什么優點？

教師以如何驗證發現，讓學生經歷深化數學模型的過程，用字母表示規律，不斷用數學符號、字母表示這些算式規律，促進學生的數學理解。

四、列舉典型實例，解釋模型

學生的思維經歷了準備模型、建立模型、深化和分析模型的過程后，教師可以引導學生回歸實際生活，嘗試用模型解釋生活中的現象，深入理解和體會數學與客觀世界的聯系，發展學生敏銳的洞察力和豐富的想象力。

在學生建構“乘法分配律”的數學模型后，教師讓學生嘗試用生活中的實例來解釋規律。

學生1：舉例兩位數乘兩位數乘法的口算方法，就用到乘法分配律：35×42=35×40+35×2，先計算出35乘40的積是1400，再計算35乘2的積70，最后算1400+70=1470。

學生2：計算一個長方形圖形的周長。可以先分別算2條長和2條寬的長度，再計算它們的和;也可以先算長加寬的和，再計算長方形的周長。

……

通過列舉生活中的典型實例，讓學生應用數學模型解釋生活中的具體實例，可以促使學生用數學的眼光去觀察世界、分析現實、發現問題、分析問題、解決問題。

總之，通過建立數學模型來學習數學，是一個重要的途徑。教師要提供適合學生認知特點的現實情境，使學生經歷解決問題的過程，在解決問題時，理清數量關系，建立相對應的數學模型，讓學生感悟數學思想和數學方法，進一步溝通數學新舊知識之間的聯系，應用數學模型解決問題，體會數學模型的價值。

參考文獻：

鄭琰.數學建模教學“五步曲”例談[J].職業，2019（9）.