數列通項公式的幾種求法

王俊義

一、累加法

例1

二、構造法

例2

三、對數變換法

例3

四、特征根法

例4

解析：設能構造an個符合條件的n位

數，易知a1=3，a2=8，當n≥3時，如果該n位數第一個數字是2或3，那么這樣的n位數有2an-1個，如果該n位數第一個數字是1，那么第二個數字只能是2或3，因而這樣的n位數只能有2an-2個，于是遞推關系為an=2aw-1+2an-2，n=2，3，4，...

定理：設x1，x2是特征方程x2=cx+c2

的兩個根。①當xc1≠x2時，an的一般表達式為an=aqx"+aqx2;②當x1=x2時，an的一般表達式為an=（β+β2n）x"，這里的a1，a2，β1，β2都是由初始值確定的常數。（證明略）

五、不動點法

例5

六、待定系數法

例6 如圖1，將一個圓分成n（n≥2）個扇形區域，現用k（k≥2）種不同顏色對這n個區域涂色，要求相鄰區域顏色不同，問：有多少種不同的涂色方法？

解析：有k種不同顏色對n個區域涂色，記種數為an（n≥2，k≥2），易知：A，有k種涂法，A2有k-1種涂法，…，A，有k-1種涂法（不論是否與A，同色），共有k（k-1）n-1.種涂法，但這k（k-1）"-1種涂法分兩類：一類是A。與A.不同色;另一類是A。與A，同色，可看作A。和A，合成一個區域，即an-1，得遞推關系

（n為區域數，k為顏色種數）。

評注：對于形如an+1=kan+f（n）的遞推式，常用待定系數法構造等比數列（不一定是等比數列）形式的數列，進而求出通項公式。