例談初中幾何證明中 “輔助線的自然生成

秦曉

[摘? 要] 輔助線是連接已知條件和所求結(jié)論的橋梁，是在分析條件、探索結(jié)論中結(jié)合所學(xué)概念、定理、幾何模型等相關(guān)知識(shí)自然聯(lián)想到的所需要的幫助. 因此，在具體的教學(xué)過程中，教師要力求向?qū)W生展示輔助線的生成過程，讓學(xué)生體會(huì)輔助線是怎樣在問題中“無中生有”的.

[關(guān)鍵詞] 橋梁;生成;感悟

1. 從幾何定理入手尋找輔助線的自然生成

分析講解? 根據(jù)“平行線的性質(zhì)定理”：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ). 本題已知條件中出現(xiàn)了兩條平行直線，要求證的結(jié)論是角度之間的數(shù)量關(guān)系，這與平行線的性質(zhì)定理描述的內(nèi)容高度吻合，所以我們可以從這里找到破題點(diǎn). 對(duì)比定理發(fā)現(xiàn)，這里缺少的就是第三條截線，所以我們可以從這個(gè)角度出發(fā)添加輔助線，構(gòu)造截線，接下來就只需要思考可以怎么構(gòu)造截線. 這個(gè)問題拋給學(xué)生以后，輔助線就在學(xué)生筆下自己長(zhǎng)出來了，而且還不止一種方法，展示輔助線的添加方法如下：可以過點(diǎn)E作直線MN∥AB，如圖2;可以連接AC，如圖3;可以延長(zhǎng)CE交直線AB于點(diǎn)F，如圖4;可以延長(zhǎng)AE交直線CD于點(diǎn)F，如圖5.

啟示? 從定理入手，使得輔助線的出現(xiàn)有了“落腳點(diǎn)”，在熟悉、掌握定理的基礎(chǔ)上，可以很自然地得到輔助線，這是直接告訴學(xué)生：“平行線問題中遇到拐點(diǎn)就過拐點(diǎn)作平行線”是不能相比的.后者這樣直接灌輸，不僅容易遺忘，而且記住的學(xué)生也大都“消化不良”，在遇到類似問題時(shí)無法舉一反三.

2. 從幾何模型中尋找輔助線的自然軌跡

這個(gè)問題很多學(xué)生都覺得無從下手，本來準(zhǔn)備就這個(gè)題給學(xué)生做一個(gè)仔細(xì)的評(píng)講，不過在評(píng)講的時(shí)候，一位學(xué)生主動(dòng)請(qǐng)纓，說出了她添加輔助線的過程：從這個(gè)題目要解決的問題入手，求△ADE的面積，就聯(lián)系到三角形的面積公式——底乘以高除以2，那么就應(yīng)該思考以△ADE的哪一邊作為底. 根據(jù)已知條件，三邊中已知AD邊為2，所以很自然聯(lián)想到過點(diǎn)E作EM垂直于直線AD，這樣就生成了解決這個(gè)問題的第一條輔助線. 可是問題還沒有徹底解決，這個(gè)時(shí)候我也思考了很久，發(fā)現(xiàn)DE=DC，而且還出現(xiàn)了兩個(gè)垂直關(guān)系，所以我聯(lián)想到平時(shí)學(xué)習(xí)過的“三垂直模型”，因此我嘗試著過點(diǎn)C作CN垂直于直線AD，如圖8所示. 通過△DME≌△CND，得到EM=DN，居然真的把這個(gè)題目做出來了，太讓我興奮了.一番描述行云流水，全班同學(xué)佩服得報(bào)以熱烈的掌聲.

啟示? 這道題目難度不小，但是學(xué)生的回答卻給了筆者很多啟發(fā)，因?yàn)槊恳粭l輔助線都來得那么自然，層層推進(jìn). 由三角形面積公式想到作高線，由高線帶來的垂直關(guān)系再結(jié)合CD=DE，聯(lián)系到全等中的“三垂直模型”，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化已知條件. 整個(gè)解題過程一氣呵成，酣暢淋漓，這不論對(duì)解題者還是參與傾聽的學(xué)生來說都會(huì)受益良多，也再次感受到了輔助線的自然生成有強(qiáng)大的生命. 這不僅使用了老師教授的輔助線的作法，而且也讓學(xué)生自己收獲了運(yùn)用這種思維帶來的成果.

3. 從幾何圖形的對(duì)稱美中去發(fā)現(xiàn)輔助線的自然生成

很多幾何圖形，比如角、線段、等腰三角形、等邊三角形等都具有軸對(duì)稱性，它們的性質(zhì)，比如角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，等腰三角形的“三線合一”也基本上來自于其圖形本身的對(duì)稱性，只不過當(dāng)我們研究完這些性質(zhì)以后，更多的注意力放在了定理本身以至于忽略了它最本質(zhì)的特性. 比如這樣一個(gè)例題：如圖9，在△ABC中，已知AC>BC，CD平分∠ACB，求證：AD>BD.

啟示? 剛分析本題時(shí)，會(huì)讓人有摸不著頭腦的感覺，感覺一個(gè)明顯的結(jié)論就是無法通過推理得到，從而產(chǎn)生失落悵然. 如果能夠多體會(huì)角是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，就算它的性質(zhì)定理也只是它的軸對(duì)稱性的一個(gè)特殊角度的展示;如果能從圖形本身的這種特征出發(fā)去解決問題，那么便會(huì)給我們很多題目的解決帶來啟發(fā)，也自然能尋找到輔助線的蛛絲馬跡.

4. 從結(jié)論的形式中去體會(huì)輔助線的生成

有一類幾何證明題，它的已知條件或者是結(jié)論里面有形如兩條線段的和（或者差）等于第三條線段，或者一條線段是另一條線段的兩倍，一個(gè)角是另一個(gè)角的兩倍等之類的描述，這種形式也蘊(yùn)含著解題的思路，下面用一道例題加以展示：如圖11，CD為△ABC的中線，求證：CA+CB>2CD.

分析講解? 從已知條件入手似乎覺得沒有更多的解題思路了. 這個(gè)時(shí)候可以從結(jié)論入手，發(fā)現(xiàn)結(jié)論中出現(xiàn)了2CD，所以可以從這里出發(fā)找到本題的突破口，嘗試將CD延長(zhǎng)加倍，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E，使得CD=DE，然后連接AE，構(gòu)造全等三角形.如圖12，△CDB≌△EDA，得到CB=AE，在△ACE中，利用三邊關(guān)系可得：AC+AE>CE，根據(jù)線段的等量代換得到CA+CB>2CD，得出證明.

啟示? 很多教輔書中都將這種方法稱為“中線倍長(zhǎng)法”，筆者認(rèn)為，除了介紹這種名稱外，更重要的是帶領(lǐng)學(xué)生一起去感悟“中線倍長(zhǎng)”字面之外的含義，什么時(shí)候需要中線倍長(zhǎng)？將中線倍長(zhǎng)以后會(huì)得到什么樣的結(jié)論？這些結(jié)論結(jié)合其他常見的幾個(gè)圖形又會(huì)出現(xiàn)哪些常見的問題？這樣學(xué)生才會(huì)知道在哪些情況下需要把線段進(jìn)行倍長(zhǎng)，而不至于為了倍長(zhǎng)而倍長(zhǎng)，把某些簡(jiǎn)單的題目反而復(fù)雜化.

輔助線的添加對(duì)于一道幾何題目而言是一個(gè)系統(tǒng)工程，每一種方法之間也不是孤立的，每一個(gè)學(xué)生看到一個(gè)已知條件聯(lián)想到的知識(shí)點(diǎn)也是不盡相同的，所以從每個(gè)人的思維之?dāng)?shù)上開出的花就是五彩繽紛的，這也形成了課堂的多樣變化深度以及廣度，讓每個(gè)學(xué)生在與別人的交流中碰撞思維（圖9的例題），在實(shí)際的授課中有的學(xué)生是從定理入手得到解決方案的，現(xiàn)在將他的思路展示如下：

看到已知條件中出現(xiàn)了角平分線，我首先想到的就是角平分線定理，所以我嘗試了做角兩邊的垂線段. 如圖13，過點(diǎn)D作DE⊥AC，DF⊥BC. 接下來我發(fā)現(xiàn)，除了得到DE=DF便無路可走了，再仔細(xì)一想，作了垂線段以后可以聯(lián)系到三角形的面積，嘗試這樣一思考，利用=，同==，進(jìn)而得到=，因?yàn)锳C>BC，所以AD>BD.

1. 關(guān)注學(xué)生的學(xué)情，用已經(jīng)掌握的知識(shí)推動(dòng)思維的發(fā)展

學(xué)生才是學(xué)習(xí)的主體，教師所做的工作是為主體服務(wù)的. 這就需要我們深入了解我們的主體，知道他們現(xiàn)有的知識(shí)近區(qū)，加以引導(dǎo)，擴(kuò)大他們的認(rèn)知圈，為推動(dòng)下一步的思維發(fā)展奠定基礎(chǔ). 如果忽略了，不管教師自認(rèn)為講解得多么透徹，學(xué)生聽來都是云里霧里，不知所云，更不用說知道學(xué)習(xí)了.

2. 教學(xué)過程注重“慢”的藝術(shù)

世間萬事的生成都是有過程的，需要時(shí)間的，所以在教學(xué)的過程中要有留白，有安靜的思考，有火熱的討論，有條理的交流，這些都需要執(zhí)教者有從容的心態(tài)，不怕學(xué)生花時(shí)間. 這樣的課堂可能例題的講解數(shù)量比較少，可是涵蓋的知識(shí)容量，以及衍生出來的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣、感知的數(shù)學(xué)的活力、思維能力的提升等非智力因素卻會(huì)帶來事半功倍的效果.

3. 教學(xué)過程中注重學(xué)生模型思維的培養(yǎng)

在幾何證明中有很多從一般情況中提煉歸納出來的模型，可以強(qiáng)化這種模型意識(shí)，就是強(qiáng)化學(xué)生對(duì)概念、定理等知識(shí)的深入認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生少走彎路，提高成功的體驗(yàn)率，有了一次次推理成功的通暢淋漓的感覺，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的激情必定高漲，內(nèi)驅(qū)力帶來的效果是任何說教都替代不了.

4. 對(duì)于自然生成卻失敗的輔助線要有優(yōu)化的意識(shí)

學(xué)生在實(shí)際的操作中，根據(jù)自身的知識(shí)構(gòu)建出一條輔助線，卻發(fā)現(xiàn)無法進(jìn)行有效的推理，鉆進(jìn)一個(gè)胡同然后毫無頭緒，可以另尋解決途徑，然而結(jié)合已知條件將輔助線進(jìn)行優(yōu)化也不失為一條上策，用一個(gè)例題展示一下過程：如圖14，在△ABC中，∠CAB=∠CBA=45°，CA=CB，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，CN⊥AE交AB于N. 求證：AE=CN+EN.

一個(gè)學(xué)生的分析過程：看到這個(gè)結(jié)論是線段和差的形式，所以想到嘗試用“補(bǔ)短”的方法來添加輔助線. 延長(zhǎng)CN到點(diǎn)M，使得NM=EN，如圖15，可是在接下來證明△BEN≌△BMN，△BCM≌△CAE都遇到了問題，沒有辦法得出任何一對(duì)三角形全等，從而整個(gè)證明停滯不前，接下來準(zhǔn)備放棄這種方法.

從“截長(zhǎng)”的角度添加輔助線，這個(gè)思路非常清晰到位，不過第一種輔助線就一定要舍棄嗎？能不能通過再次分析題目的已知條件做個(gè)調(diào)整，△BCM與△CAE已經(jīng)有一對(duì)邊BC=AC，一對(duì)角∠BCM=∠CAE，所以在描述輔助線的時(shí)候可以換個(gè)角度，直接使得CM=AE，就可以補(bǔ)充這兩個(gè)三角形全等所需的第三個(gè)條件，進(jìn)而證明△BEN≌△BMN，進(jìn)一步推理根據(jù)線段的等量代換完成整道題目的證明.

啟示? 本題通過改變對(duì)輔助線的描述將一條被放棄的輔助線“起死回生”，這對(duì)那些有這種經(jīng)歷的學(xué)生有莫大的鼓舞. 在這種思維方式的啟發(fā)下，他們自己也很快找到了新的方法：過點(diǎn)B作AC的平行線交CA的延長(zhǎng)性于點(diǎn)M或者過點(diǎn)B作BM⊥BC交CN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M. 他們能這樣舉一反三，對(duì)筆者也是莫大的鼓舞.

幾何證明問題對(duì)輔助線的添加一直都是一個(gè)教師關(guān)注的熱點(diǎn)，也是一個(gè)老生常談的話題，怎么把這首老歌唱出新意，也是筆者在教學(xué)的過程中一直思考的問題. 通過對(duì)已知條件的挖掘，結(jié)合想得到的證明結(jié)果，尋找這兩者的連接點(diǎn)，如果之間的橋梁需要我們?nèi)ゴ罱ǎ涂梢詮膶?shí)際需要出發(fā)，實(shí)現(xiàn)輔助線的有效生成. 以上的一些淺顯的個(gè)人想法希望能夠拋磚引玉，與同仁們一起探討輔助線自然生成的生長(zhǎng)點(diǎn)，為我們的實(shí)際教學(xué)注入新的想法.