圖形變換思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透研究

任志燕

[摘? 要] 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，圖形變換思想能夠幫助學(xué)生理解圖形內(nèi)涵，發(fā)現(xiàn)圖形規(guī)律，尋找解題突破口，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié). 這就要求我們在教學(xué)中，以現(xiàn)有幾何知識為載體，有意識地向?qū)W生滲透圖形變換思想，提高學(xué)生的解題思維. 文章結(jié)合教材幾何部分的教學(xué)內(nèi)容，就圖形變換思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透情況進(jìn)行了簡要的分析說明，為教師的幾何教學(xué)提供參考.

[關(guān)鍵詞] 圖形變換;初中數(shù)學(xué);幾何;滲透

圖形變換思想是數(shù)學(xué)中的一種重要思想方法，在初中平面幾何教學(xué)中，有意識地向?qū)W生滲透圖形變換思想，能夠幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形之間的本質(zhì)聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展. 《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出了對圖形變換掌握的要求，另外，從近幾年中考數(shù)學(xué)試題來看，圖形變換成為中考試題的壓軸題型，幾何變換正逐漸成為幾何學(xué)習(xí)的熱點.

圖形變換思想是借助運動和變化的觀點去研究幾何對象相互之間的關(guān)系，觀察目標(biāo)圖形在哪些數(shù)量和關(guān)系上出現(xiàn)了變化，在哪些數(shù)量和關(guān)系上沒有發(fā)生變化，從而揭示其中的規(guī)律. 圖形變換思想就是通過對圖形的變化，將復(fù)雜的不規(guī)則圖形變?yōu)楹唵蔚囊?guī)則圖形，這是解決幾何問題的一種重要思路[1]. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有意識地向?qū)W生滲透幾何變換思想，不僅能夠幫助學(xué)生加深對數(shù)學(xué)知識的理解，還能夠提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.

圖形變換思想的滲透不是幾節(jié)專題課就能夠講明白的，而是要借助教材中的多個教學(xué)內(nèi)容來完成滲透，這就要求教師平時要認(rèn)真研究教材，設(shè)置相應(yīng)的滲透方案. 例如，在垂線定理部分，利用直線旋轉(zhuǎn)90°的方式去定義垂線，體現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)變換的思想;在三角形內(nèi)角和等于180°的教學(xué)中，通過平移、旋轉(zhuǎn)將三個內(nèi)角轉(zhuǎn)化為一個平角，體現(xiàn)了變換的思想. 又如在全等三角形的判定定理部分，通過運動平移、疊合兩個三角形來證明判定定理的正確性;在直角三角形定理部分的教學(xué)中，將線段繞某一端點旋轉(zhuǎn)90°，連接另一端點和起始位置與中點的任意一點，所得到的圖形必定為直角三角形;在平行四邊形性質(zhì)定理部分的教學(xué)中，將平行四邊形旋轉(zhuǎn)180°能夠與原圖形相重合，就可以得到對角、對邊的關(guān)系，從而體現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)變換的思想;在垂徑定理部分的教學(xué)中，利用圓的軸對稱性發(fā)現(xiàn)垂徑定理，滲透翻折變換思想等[2].

1. 借助生活實例進(jìn)行幾何變換思想滲透

圖形變換思想都是通過實際生活中的物體運動抽象出來的，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中向?qū)W生滲透這一思想時，可以從學(xué)生熟悉的生活實例出發(fā)，這樣更加接近學(xué)生的認(rèn)知，有助于學(xué)生更好地抽象概念. 例如，在平移概念的引入部分，教師就可以選擇用推拉門的生活實例，這樣能夠促進(jìn)學(xué)生對長方形平移運動數(shù)學(xué)模型的思考. 對于三種運動形式的變換思想也可以通過以下問題引出來：

如圖1所示，長方形花壇ABCD的長和寬分別為a米和b米，在花壇中有一條寬為x米的小路，除小路以外全部種上花朵，求要種花的部分土地的面積.

2. 借助幾何畫板進(jìn)行幾何變換思想滲透

幾何畫板的使用，給數(shù)學(xué)幾何教學(xué)帶來了方便. 借助幾何畫板，能夠?qū)㈧o態(tài)的幾何圖形變?yōu)閯討B(tài)的幾何圖形，便于學(xué)生理解，尤其是學(xué)生在理解平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等圖形變換知識時，更是可以起到事半功倍的效果. 例如下面這一問題：

學(xué)生在解決這一問題的時候面臨著較大的困難，并沒有將旋轉(zhuǎn)的思想運用上，依然是通過三角形的形狀去尋找對應(yīng)位置. 這時，教師就可以利用幾何畫板中的軌跡跟蹤點的功能，演示B點和D點的運動軌跡，幫助學(xué)生理解幾何變換的過程，提高學(xué)生應(yīng)用幾何變換思想解決問題的能力，如圖2所示.

3. 借助變式作圖進(jìn)行幾何變換思想滲透

學(xué)生在初中階段開始接觸平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等運動的定義和性質(zhì)，但是思維水平還沒有達(dá)到理解應(yīng)用的程度，教師可以通過變式作圖的方式幫助學(xué)生加深對該部分知識的理解. 首先，可以通過位置變換的變式幫助學(xué)生理解圖形的旋轉(zhuǎn)變換. 如圖3所示，它們分別是以A為頂點進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后圖形的頂點到中心點的距離就是該三角形的邊長;圖4的旋轉(zhuǎn)中心在AC上，那么A和C點到中心點的距離為OA和OC.

通過這樣的變式作圖，可以準(zhǔn)確了解學(xué)生對旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)角的意義和作圖方式的掌握情況.

學(xué)中的滲透實例

1. 平移變換思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

在平行線部分的教學(xué)中，教師可以通過實驗幾何的方式設(shè)計教學(xué)：已知直線l，請同學(xué)們利用手中的直尺畫一條與之平行的直線. （引導(dǎo)學(xué)生利用三角板的不同角與直尺相對，完成畫圖，如圖5～圖7）

學(xué)生在小學(xué)階段就學(xué)會了作圖，這樣的圖形操作他們可以獨立完成，教師需要做的就是利用幾何作圖語言加以描述. 在具體操作過程中，利用三角板的一個角沿著直尺前后移動，得到兩個相等的對應(yīng)角，從而得出一對同位角，這樣就構(gòu)成了兩條平行線. 學(xué)生在操作中通過變換不同度數(shù)的角，發(fā)現(xiàn)不論對應(yīng)角選擇多少度，最終目的都是要構(gòu)造一對同位角，從而得出了平行線的判定，也對平移變換的思想加深了認(rèn)識.

2. 翻折變換思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

在三角形部分的教學(xué)中，教師在對等腰三角形性質(zhì)部分進(jìn)行教學(xué)時，可以通過翻折運動引入，以操作實驗的形式進(jìn)行教學(xué). 例如：先引導(dǎo)學(xué)生觀察等腰三角形是否是軸對稱圖形，尋找它的對稱軸. 然后，沿著對稱軸進(jìn)行翻折，會發(fā)現(xiàn)等腰三角形兩條邊、兩個對應(yīng)角、對應(yīng)點等會重合到一起，向?qū)W生提出問題：為什么它們會重合到一起呢？此時，教師提示學(xué)生并展示折紙過程. 另外，在學(xué)習(xí)等腰梯形的時候，證明等腰梯形的軸對稱性對學(xué)生來說有一定的難度，教師可以引入翻折思想，通過剪一剪、折一折來探究等腰梯形的軸對稱性. 例如：通過剛才的操作，我們證明了等腰三角形的軸對稱性，下面我們就來證明一下等腰梯形的軸對稱性質(zhì). 首先請同學(xué)們剪出一個等腰三角形，然后在這個等腰三角形的基礎(chǔ)上剪出等腰梯形. 期間引導(dǎo)學(xué)生思考，如何才能夠剪出等腰梯形. 剪出等腰梯形后，將等腰梯形進(jìn)行翻折，觀察翻折后的結(jié)果. 最后，引導(dǎo)學(xué)生將自己觀察到的結(jié)果和操作過程用圖形語言和符號語言描述出來，并論證這一結(jié)果，如圖8～圖10.

3. 旋轉(zhuǎn)變換思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

在四邊形部分的教學(xué)中，為了讓學(xué)生學(xué)習(xí)平行四邊形的相關(guān)知識，教師采用在三角形基礎(chǔ)上構(gòu)造對角線，利用全等的方式來得出平行四邊形. 這種方法是幾何教學(xué)中常用的方法，學(xué)生雖然能夠記住相關(guān)的知識，但是對于圖形變換背后的中心對稱思想?yún)s不清楚. 為了能夠幫助學(xué)生直觀地探究平行四邊形的中心對稱性，就可以通過滲透旋轉(zhuǎn)變換的思想來實現(xiàn). 例如，讓學(xué)生將平行四邊形行旋轉(zhuǎn)180°，通過圍繞對角線的交點進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)后的圖形會和旋轉(zhuǎn)前的圖形相重合，然后仔細(xì)觀察還有哪些相等的數(shù)量關(guān)系. 進(jìn)而教師就可以引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出平行四邊形的性質(zhì)1、性質(zhì)2和性質(zhì)3.

小結(jié)

圖形變換思想是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中一種重要的數(shù)學(xué)思想，其中的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折運動更是很多數(shù)學(xué)壓軸題包含的重要數(shù)學(xué)思想，也是學(xué)生解決這類幾何問題的關(guān)鍵. 在初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中，有意識地向?qū)W生滲透圖形變換的思想，能夠幫助學(xué)生理解圖形的本質(zhì)，解決圖形問題，同時，還能夠發(fā)展學(xué)生思維，提高學(xué)生解決幾何問題的能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]胡松. 以“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”導(dǎo)引數(shù)學(xué)活動——《幾何圖形》教學(xué)實錄與思考[J]. 數(shù)學(xué)通報，2017（1）.

[2]范登宸，劉運河. 讓立體幾何圖形動起來——介紹一種應(yīng)用《幾何畫板》軟件實現(xiàn)空間圖形直觀圖旋轉(zhuǎn)的方法[J]. 數(shù)學(xué)通報，1999（2）.