基于學生數學抽象核心素養的培養策略

陳熙春

【摘要】培養學生數學抽象，以數學核心概念形成根基，以數學抽象概括能力形成為重點，以數學知識的“溫故知新”為途徑，以“做數學”為驅動力，促進學生提升數學抽象能力.

【關鍵詞】數學抽象;核心素養;培養策略

【基金項目】本文系寧夏第五屆基礎教育教學課題“基于數學核心素養的高中數學教學實踐研究”（課題編號：JXKT-ZS-05-078）的研究成果.

《普通高中數學課程標準（2017年版）》提出了六大核心素養.學生核心素養形成主要是通過后天的學習實現，通過接受教育來形成和發展的.學生核心素養的培養需要通過多種教育渠道實現，其中學科教學顯然是核心素養培養的主渠道.核心素養究竟如何落地？筆者僅對課堂教學怎樣培養學生的“數學抽象”核心素養談談自己的做法和體會.

數學抽象是指通過對數量關系與空間形式的思維過程.主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并用數學語言予以表征.數學抽象的特點決定了在數學教學中培養學生的數學抽象核心素養，應采取以下的策略.

一、以數學核心概念形成根基，讓學生學會數學抽象

數學核心素養是在掌握數學知識的基礎上在數學活動中逐步形成的.從數學抽象的四個“表現”看（形成數學概念和規則、形成數學命題和模型、形成數學方法與思想、形成數學結構與體系），數學概念又是最基本的.概念是思維的單元和細胞，概念組成命題，命題形成判斷，數學方法和思想是數學知識在更高層次上的抽象和概括.重視概念教學，提升概念教學水平，其中最切實的是抓住數學核心概念形成的教學，選取學生熟悉的典型實例，提供豐富材料，讓學生經歷完整的數學抽象過程，熟悉數學抽象的“基本套路”，在概念形成的數學中學會數學抽象.在數學概念形成的過程中可以大致這樣劃分：從辨別到概括為第一次抽象，表現為用自然語言表達的直觀描述;概括后到形式化，完成符號表達為第二次抽象.

需要特別指出的是，在數學概念教學過程中，選取學生熟悉的實例，使抽象概念的數學教學具體化，僅僅是一種手段，其目的不僅是學好應學的概念，更重要的是認識數學抽象的實質，學會數學抽象的方法.數學概念是比較抽象和形式化的，尤其是高中數學概念，比初中數學概念的抽象性又向前大大邁進了一步.很多高中數學概念對學生而言，其抽象化程度比較高，非常不利于學生的理解.這些知識的傳授，必須依賴具體的實際數學問題模型，進而思考問題的解決.

二、以數學抽象概括能力形成為重點，讓學生領悟由特殊到一般的數學抽象方法

抽象概括能力是指從個別特殊材料中揭示出一般原理和共同特點的思維能力，它是學生建構、理解數學概念、定理、公式等知識的不可或缺的思維過程，其水平的高低直接影響著學生學習的過程和質量，反映了學生對數學知識本質的認知程度.抽象概括水平高，有助于知識的正向遷移，有助于發現蘊含于問題中的數學模型，有助于知識學習過程和問題解決過程的順利進行.因為只有通過抽象、概括才能使人的認識由感性上升到理性，從而掌握事物的本質和規律.如果學生的抽象、概括能力提高了，他們的邏輯思維水平才會真正提高.因此，培養學生的數學抽象素養，在數學教學中適時進行由特殊到一般——數學模型化思維是一個有效的策略.

由特殊到一般的數學抽象概括就是將“數學材料數學化，發現不同對象的共同特征”.這種抽象概括能力可以在知識的發生、發展過程的探究中形成.

例如，函數單調性定義的探究過程.

在教學的過程中，如果教師直接給出函數單調性的定義，然后用例子加以訓練，則留給學生的就只有知識和方法，但如果我們從單調性概念的形成過程人手，通過問題引導，讓學生自己去探究函數單調性的形成過程，則留給學生的除了知識與方法外，還會多點什么嗎？讓我們先來看一看概念的形成過程：

問題1：對運動變化問題，最基本的就是描述變化的快與慢、增與減，我們把其中函數圖像增與減的特征稱之為“函數的單調性”，你能給出函數單調性的“直觀定義嗎”？

問題2：分析y=x2的增區間或者減區間中y隨著x的變化而變化的過程，給出函數單調性概念的“描述性定義”.

問題3：在函數單調性的描述性定義中，怎樣解釋“隨著自變量x的增大，函數值也增大”呢？如果對區間（a，b）上的任意x有f（x）>f（a），那么f（x）在區間（a，b）上單調遞增這個說法對嗎？請你說出理由.

這是單調性概念形成的關鍵問題，可以讓學生充分地討論.學生可舉例或畫圖說明，上述結論是不對的.要解釋在某區間上“隨著自變量x的增大，函數值也增大”，只需比較任意兩個自變量的函數值的大小即可，這樣函數單調性形式化的定義呼之欲出.

上述過程中，學生從形數的關系人手，先是用變量之間的關系刻畫了單調性的特征.然后用不等式給出了單調性形式化的定義，學生多出來的就是用不等式刻畫單調性特征的概括能力.

引導學生在問題探討中學會抽象概括是培養數學抽象核心素養的重要途徑.在教學中可以采取以下方法：

（1）通過對實際問題的探討，概括出數學概念的本質意義，如通過分析研究“表格法”“解析式法”“圖像法”三種形式函數實際問題，從中抽象概括出其共同本質屬性：兩個非空數集間的單值對應.

（2）通過問題情境的創設與探討，發現數學公式、公理、定理等命題.如設置問題情境：“在△ABC中，已知邊b=4，c=2，∠A=60°，求邊a的值.”經過生生互動、師生互動等形式，探討出多種解法，如作AB邊上的高，把a看成直角三角形的邊長，將問題轉化為解直角三角形問題;把a看作向量AB的模，將問題轉化為向量問題;把a看成B，C兩點間的距離，通過建系設點，將問題轉化為解析幾何問題.在上述探討基礎上，將問題一般化：“在△ABC中，已知邊b，c和∠A，求邊a的值.”沿著上述多種解法的軌跡，不難發現任意三角形的又一重要邊角關系：“余弦定理”.

上述幾方面的概括化活動，在日常課堂教學活動中，隨時隨地都有機會進行.教師要有強烈的“教學設計意識”，依據教學目標和任務的要求，精心選擇、組織教學內容，認真分析學生的認知特點，科學合理地設計教學過程和學習活動，引導學生在問題的探討中積極參與活動，在活動中不斷提升概括能力.

三、以數學知識的“溫故知新”為途徑，讓學生不斷提高數學抽象能力

數學具有逐級抽象的特點，較高一級的抽象要依賴于較低一級的抽象.數學的這種逐級抽象性反映著數學的系統性.這種數學逐級抽象性的特點體現到數學學習過程中，就要重視數學知識的“溫故知新”.例如，前面的一些概念沒有學好，就難以學好依賴于這些概念抽象出來的更高一個層次的概念.因此，在學習新的概念時，必須及時復習以前的有關概念，為新概念的抽象創造必要的條件.這種方法既符合數學的發展規律，又符合學生認知的發展規律，既能加深對新知識的理解，又能從中領悟到數學抽象的層次性，不斷提高數學抽象能力.

四、以“做數學”為驅動力，促進學生提升數學抽象能力

從數學的發展看，它本身也是充滿著觀察與猜想的探索活動.許多數學定理、性質、公式、法則的發現都經歷了一個艱苦曲折的思維推理過程，教師應充分挖掘向學生展現“做數學”的過程.通過引導學生觀察、動手操作、比較分析、猜想歸納，在“做數學”中學數學，獲得數學學習的體驗，并從中提升數學抽象能力.通過高中數學課程的學習，學生能在情境中抽象出數學概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動經驗;養成在日常生活和實踐中一般性思考問題的習慣，把握事物的本質，以簡馭繁;運用數學抽象的思維方式思考并解決問題.

【參考文獻】

[1]蘇振新.基于數學核心素養的數學教學[J].中學數學：2017（17）：3-4.

[2]王尚志.如何在數學教育中提升學生的數學核心素養[J].中國教師：2016（9）：33-38.