巧構模型?妙解賽題

韋珍

一元二次方程是初中數學的重要內容，在數學競賽中經常出現.有些競賽題從表面上看不是一元二次方程的問題，但是通過轉化、變換，可以構造一元二次方程，并借助已熟悉的一元二次方程的知識及解題技巧，達到化難為易進而解決問題.下面以四道競賽題為例，介紹構造一元二次方程的幾種方法.

一、以根定義 巧構方程

例1 已知實數 ，且滿足 ， ，則 .

分析 乍看這道題，好像要分別求出 和 ，若求 ，計算量非常大。我們只要將這兩個方程各自整理成一般式，再觀察所得的兩個方程的系數，不難發現，其本質上為同一個方程.

解 由已知得： 為方程 的兩個實數根，即為 的實數根；

所以 ， ，可得：

所以，原式=

= .

二、二元禮讓 巧構方程

例 2 已知 都是整數，且 ， ，求 的值.

分析 以上組合是三元二次方程組，若是直接求 的值，難度較大，不妨通過消元，整理成一個二元二次方程，再將其看成關于 的一元二次方程.

解 由 得 ；

將 代入 ，得： ；

整理得： ；

解得： ；

∵ 都是整數，

∴ 是完全平方數4；

∴ 只能取 ； ； ； ；

∴相對應 4；0；4；0；

故 5或-1或3或-3.

三、用判別式 巧構方程

例3 已知： 是完全平方式.求證： .

分析 題目中的完全平方式出現了四個字母，要直接應用它來證 ，相當難，但若將已知條件轉化成“關于 的一元二次方程 有兩個相等的實數根”，此題就非常簡單了.

證明 把已知代數式整理成關于 的二次三項式，得

原式= ，①

∵它是完全平方式，

∴關于 的一元二次方程 有兩個相等的實數根；

∴△=0.

即 .

整理得：

∴ ，

∴ .

要使等式成立，必須且只需： ，解得 .

四、根與系數 巧構方程

例4 已知實數 滿足： ，（1）求 中的最大者的最小值；（2）求 的最小值（2003年全國初中數學競賽試題）.

分析 從形式上看，容易聯想到可以轉化為兩數和與兩數積的形式，這樣就可以根據根與系數的關系，構造一元二次方程來求解.

解 （1） 設 是最大者，由 ，可知 ，并可化為 ， 由 可化為 ，因此，實數 可以看作關于 的一元二次方程 的兩個根，由 是實數，所以 ，得：

，即 ， ，因c>0，

所以c+2>0，得（c-2）（c-4）≥0，解得：c≤2或c≥4，因為c是最大者，故c的最小值是4..

（2） 因為 ，

所以 .

故： 的最小值是6.