坐標系與參數方程的“三生三試”

張云

一、參數方程的“一生一試”

參數方程的“一生一試”即題目里面已知條件是參數方程，由參數方程直接對準問題的導向生成相應的表達式一試即可解決，可稱為直譯型題。有時可生成極坐標方程或者普通方程一試便可。

例1（2013年高考新課標II卷）（23）已知動點P、Q都在曲線 （ 為參數）上，對應參數分別為 與 ，M為PQ的中點.（1）求M的軌跡的參數方程；（2）將M到坐標原點的距離d表示為 的函數，并判斷M的軌跡是否過坐標原點.

分析：此題是直譯型題，根據題目的已知條件翻譯成數學表達式，外加簡單運算即可。

解：（1）依題意有 ，點M

M的軌跡的參數方程為 （ 為參數，

（2）M點到坐標原點的距離d= = 當 時，d=0，故M的軌跡過坐標原點。

二、極坐標方程的“一生一試”

極坐標方程的“一生一試”即題目里面已知條件是極坐標方程，由極坐標方程直接生成參數方程或者普通方程一試便解決。

例2（2014年高考新課標II卷）23. 在直角坐標系 中，以坐標原點為極點，x軸為極軸建立極坐標系，半圓C的極坐標方程為 ， .（1）求C的參數方程；（2）設點D在C上，C在D處的切線與直線 垂直，根據（I）中你得到的參數方程，確定D的坐標.

分析：就是利用極坐標方程生成普通方程（為橋梁）再生成參數方程便可解決問題。

解：（1）C的普通方程為 可得C的參數方程為 （ 為參數， ）

（2）設 由（I）知C是以 為圓心，1為半徑的上半圓，因為C在點D處的切線與 垂直，所以直線GD與 的斜率相同。

故D的直角坐標為 ，即

三、普通方程的的“一生一試”

普通方程的“一生一試”即題目里面已知條件是普通方程，由普通方程直接生成參數方程或極坐標方程一試就可解決。

例3（2014年高考遼寧卷）23.將圓 上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變為原來的2倍，得曲線C.（1）寫出C的參數方程；（2）設直線 與C的交點為 ，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極坐標建立極坐標系，求過線段 的中點且與 垂直的直線的極坐標方程.

分析：（1）首先生成C的普通方程，利用三角代換即可；（2）先生成直線的普通方程再生成極坐標方程，利用 即可。

解：（I）設 為圓上的點，在已知變換下變為C上點 ，依題意，得

由 得 ，即曲線C的方程為 故C的參數方程為 （ 為參數）

（2）由 與 解得： ，或

不妨設 ，則線段 的中點坐標 ，所求直線斜率： ，于是所求直線方程為 ，化為極坐標方程，并整理得 ，即

四、坐標系與參數方程的“三生三試”

題目已知條件里面是參數方程、極坐標方程、普通方程至少占兩種，這種情況下就是互相生成或者說相互轉化，根據相應的運算性質或者幾何意義試試即可解決。有趣的是2015、2016、2017年的考題已知條件都是參數方程和極坐標方程的表達式，所以可以猜測2018出題導向，也是有可能命中考題的。

例6（2017年高考新課標III卷）22.在直角坐標系 中，直線 的參數方程為 （ 為參數），直線 的參數方程為 （ 為參數），設 與 的交點為P，當 變化時，P的軌跡為曲線C.（1）寫出C的普通方程：（2）以坐標原點為極點， 軸正半軸為極軸建立極坐標系，設 ： ， M為 與C的交點，求M的極徑.

分析：（1） 與 的參數方程生成普通方程聯立即可解決；（2）將C的普通方程轉化為極坐標方程后與 的極坐標方程聯立即可。

解：（1）消去參數 得 的普通方程 ；消去參數 得 的普通方程 設 ，由題設得 消去 得

所以C的普通方程為

（2）C的極坐標方程為

聯立 得 故 ，從而

代入 得 ，所以交點M的極徑為

參數方程在高中的主要用途是處理動點的問題，比較常用的是代換橢圓和圓的方程，一般用在選做題上，所以一般都是比較簡單的。值得注意的是，如果遇到動點問題，當你想不到什么方法好時，可以考慮用參數方程。用參數方程求最值、距離、軌跡方程等，首先設參數，其次消參數，最后得問題答案。當然參數方程解決數學問題是有針對性的，并不是一切數學問題都能用參數方程來解決，也并不是所有問題解決起來都簡便。不過高中階段參數方程局限于橢圓和圓，雙曲線或其他方程的參數方程比較復雜，通常不要求掌握，所以用途不太廣泛。它是一種解題的新思路、新方法，有時候可能會是一個不錯的選擇。