如何解決二面角的相關(guān)問題

龍新榮

摘要：二面角的問題是高考中常見的內(nèi)容，直接求二面角的度數(shù)或求二面角的某個三角函數(shù)值，或證明兩個平面垂直等等，我們都知道求二面角的基本方法有定義法、垂面法、三垂線法，但在具體題目中我們很難找到兩個平面所成的二面角的平面角，現(xiàn)在讓我們看看在解題中怎樣解決這類問題。

關(guān)鍵詞：二面角 平面角 ⊥（垂直）

在求兩個平面所成的二面角時，我們習(xí)慣性的的立馬在腦子里就想著找到二面角的平面，結(jié)越陷越深，時間浪費很多，猛然回頭才發(fā)現(xiàn)原來是這樣。

例如，如圖，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB.

（1）求二面角A?PD?C的平面角的度數(shù)；

（2）求二面角B?PA?D的平面角的度數(shù)；

（3）求二面角B?PA?C的平面角的度數(shù).

分析：于我的個人經(jīng)驗（1）題就想怎樣在線段PD上找一點作A-PD-C的平面角，結(jié)果弄了很長時間那個點很難確定，想了好久，我們也很容易得到CD⊥PD，但AD根本不會和PD垂直，突然發(fā)現(xiàn)這兩個平面所成的二面角是個特殊的直二面角，只要推出平面PAD垂直于平面PDC即可；對于（2）、（3）我們不難發(fā)現(xiàn)他們的二面角的平面角在圖形上直接能找到，第（2）∠BAD就是B-PA-D的平面角，∠BAC就是B-PA-C的平面角，這樣問題就快速的解決了！

解：（1）∵PA⊥平面ABCD

∴PA⊥CD，又∵四邊形ABCD是正方形

∴AD⊥CD，又∵PA，AD 平面PAD，且PA∩AD=D

∴CD⊥平面PAD，CD 平面PCD

∴平面PCD⊥平面PAD

∴二面角A-PD-C是直二面角

（2）PA⊥平面ABCD

∴BA⊥PA，DA⊥PA，∴∠BAP是二面角B-PA-D的平面角

又∵∠BAP=90°

∴二面角B-PA-D=90°

（3）由（2）知∠BAC是二面角B-PA-C的平面角=45°

有些題目中雖然二面角在圖形中已存在但需要我們經(jīng)過證明才能確定二面角的平面角，而且證明過程還比較麻煩。

例如，如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的菱形，∠DAB=60°，三角形PAD為正三角形垂直平面ABCD， G為AD的中點，

求二面角A-BC-P 的大小。

分析：此題二面角的平面角就是∠PBG二面角

的平面角，它是平面ABCD和平面PBC所成的二面角

的平面角，但是要推出∠PBG二面角A-BC-P的平面

不容易。

解：∵三角形PAD為正三角形，G為AD中點，

∴PG⊥AD，又∵四邊形ABCD為菱形

∴BC⊥PG

∵∠DAB=60°，菱形邊長為a

∴GB =（ a） +a -2× a×acos60°

∴GB= a

AG +BG =AB ，∴三角形ABG為直角三角形，即BG⊥AD

又∵PG，BG 平面PGB，且PG∩BG=B

∴AD⊥平面PGB，即BC⊥平面PBG

∴∠PBG是二面角A-BC-P的平面角

又∵平面PAD⊥平面ABCD，PG⊥AD

∴PG⊥GB，△PGB為直角三角形。PG=BG

∴A-BC-P=45°

有時在題目的圖形中并沒有給出二面角的平面角，這時需要我們自己去構(gòu)造二面角的平面角，怎樣去構(gòu)造平面角的二面角就比較困難了，在兩個半平面內(nèi)看看兩個半平面是不是有公共底的等腰三角形，如果是則作這條公共底的中線或高或者作兩三角形點角的平分線就可以構(gòu)造出二面角的平面角，從而使問題得以解決！如下面的題：

例1.如圖所示，把等腰直角三角形ABC沿斜邊AB旋轉(zhuǎn)至△ABD的位置，使CD=AC，求二面角C?BD?A的余弦值.

解：取AB中點O，連接OD、OC，取BD的中點E，連接CE、OE.

則有OD⊥AB，OC⊥AB，即∠COD是二面角C?AB?D的平面角.

設(shè)AC=a，則OC=OD=22a.

又CD=AD=AC，∴CD=a，

∴△COD是直角三角形，即∠COD=90°∴OC⊥平面ABD

∵△BCD為正三角形，∴CE⊥BD.

又△BOD為等腰直角三角形，∴OE⊥BD.

∴∠OEC為二面角C?BD?A的平面角.

又∵OC⊥平面ABD，∴OC⊥OE.

∴△COE為直角三角形.

∵BC=a，則CE=32a，OE=12a.

∴cos∠OEC=OECE=33.

例2.已知Rt △ABC，斜邊BC?α，點A?α，AO⊥α，O為垂足，∠ABC=30°，∠ACO=45°，求二面角A?BC?O的大小.

解析：如圖所示，在平面α內(nèi)，過O作OD⊥BC，垂足為D，連接AD.

設(shè)OC=a，∵AO⊥α，BC?α，

∴AO⊥BC.又∵AO∩OD=O，

∴BC⊥平面AOD.

而AD?平面AOD，

∴AD⊥BC，∴∠ADO是二面角A?BC?O的平面角.

由AO⊥α，OB?α，OC?α知AO⊥OB，AO⊥OC.

又∠ABO=30°，∠ACO=45°，

∴AO=a，AC=2a，AB=2a.

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，

∴BC=AC2+AB2=6a，

∴AD=AB·ACBC=2a·2a6a=233a.

在Rt△AOD中，sin∠ADO=AOAD=a233a=32.

∴∠ADO=60°，即二面角A?BC?O的大小是60 °.

求二面角的大小關(guān)鍵是作出二面角，作二面角的平面角的方法：

1.（定義法） 在二面角的棱上找一特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線.

2.（垂直法） 過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角.

3.（垂線法） 過二面角的一個面內(nèi)一點作另一個平面的垂線，過垂足作棱的垂線，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補角.

在解題時我們要會在立體圖形中靈活尋找二面角的平面角，利用線面的垂直關(guān)系，線線垂直，勾股定理及逆定理，來尋求垂直關(guān)系，找到二面角的平面角，從而解決問題！