高中數學函數與導數的應用

李桂林

【摘要】 隨著新課程改革的不斷推進，高中數學中的導數問題在數學學科當中越來越受到重視。導數實際上就是導函數的簡稱，是函數當中一個比較特殊的函數，導數的引入與使用的過程也一直貫穿著函數的問題與性質。隨著高中數學難度的不斷加深，導數的應用已經由一個簡單的輔助工具上升到了分析和解決問題中必不可少的一個工具。近年各省的高考試題中都以導數為載體來出題，考查學生們的創新能力與探究能力。那么在高中數學中，導數與函數的應用是怎樣體現的呢？

【關鍵詞】 高中數學;函數與導數;應用

函數是高中數學中的一個常見名詞，在函數的問題探究中，利用導數來進行一些問題的解決是非常有效的，在近幾年當中，由于試題難度逐漸加深，函數方面的問題都比較有難度，為了能夠更好地解決函數問題，教師應當將導數問題與函數問題在教學中進行一個有效的結合，讓學生們掌握利用導數去解決函數問題這樣一種有效的方法，從而更加有效地解決函數問題。那么如何利用導數去解決函數問題呢？在實際中，學生們應當怎樣去應用呢？

一、利用導數可以更好地理解函數的性質

函數是高中數學學科當中的一個比較有難度的知識點，在高中數學教學中，函數的性質問題～直是令教師感到頭痛的一個知識點，因為這方面的內容比較復雜，學生會感覺到容易混雜，分不清楚，并且不會進行應用，因此成了教學中的一大難題，也成為學生學習中的一大阻礙。函數的性質主要涉及函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性等等，這些我們其實都可以通過圖像的形式來更好地進行教學，學生也可以通過圖像的方式進行記憶。但是這只是指一些比較單一的簡單的函數，如果涉及的是非基本初等函數，比如像y=x³-2x²+x-1這樣比較復雜的函數，要想通過圖像的方式來了解它的性質就比較困難了，但是掌握了導數的概念與基本知識之后，學生便可以利用導數來進行函數性質的判斷與解決，利用求出的導數來畫出各個點的位置，然后根據各個點的位置，比如拐點、最高點、最低點等等，都可以清晰地判斷出函數的基本性質，所以說導數是判斷函數性質的一個有效方法。

二、利用導數解決函數單調性問題

函數單調性是指在一個函數中，隨著x的增大，y也增大，那么這個函數就是增函數，而如果隨著x的增大，y變小，那么這個函數就是減函數，如果具有這樣的特性，那么就說這個函數具有單調性。在證明函數單調性的過程中，我們可以使用定義來證明函數是否具有單調性，也可以利用函數的解析式來證明函數是否具有單調性，但是這些方法在操作的過程中不是太麻煩，就是會因為一些小的錯誤而導致最后的結果出現問題，因此這些證明的方法都不是很好。但是在學習完導數之后，便可以教學生用導數來進行函數單調性的證明，這樣就可以有效簡化函數單調性的問題。比如讓求解當a>O時，函數f（x）=（x²一2x）lnx+（a一1/2）x²+2（1-a）x+a的單調性，那么在這道題中便可以引進導數的概念。在做這道題時，首先我們應該求出這個函數解析式的導數表達式f（x）=2（x-l）（lnx+a），其中x>0，然后根據導數的定義可知，當常數a大于O時，令廠f'（x）=O，可得x1=l，x2=-e^-a，此時e^-a<1，這樣就能夠很清晰地知道函數的增區間和減區間。由這個例子可以看出，通過導數來解決函數的單調性問題可以將問題簡化，傳統的解題方法是由f（x1） -f（x2）的正負來判斷函數的單調性，而利用導數這一方法可以直接由f（x）判斷出函數的單調性，從而達到高效解題的效果。

三、利用導數解決函數值域、最值問題

函數的值域與最值問題一直以來都是學生們眼中的一個大難題，也是教師教學中的一大難點，在高中數學函數教學中，值域與最值問題又是在考試中比較容易出現的一個問題，受到教育領域的重視。尤其是在近幾年來，函數的值域與最值問題一直是考試中的重點題，是學生在備考當中一定要掌握的一類題。因為值域問題與最值問題與導數的聯系比較密切，不僅能夠在函數的問題當中考查學生們的導數應用能力，更能夠通過這樣一道題來有效地考查學生們的探究能力與創新能力，因此比較容易出現。導數是處理函數值域與最值問題時的一個比較有效的方法。在求函數值域方面，求值域問題在高中數學考試中較為常見，而且這部分知識也可以說是學生在整個高中數學學習階段的重點，同時它也是教師教學的難點。在實際學習中，求函數值域的方法有很多，其中最簡便的方法就是利用導數，在解題過程中，我們可以先找到問題函數f（x）的定義域是什么，然后根據函數的定義判斷其導數，f（x）的正負，進而就可以簡單地求出函數的值域了。而在求最值方面，以題目為例：已知f（x）=x²一2x，求這個函數在[-2，1/2]上的最值，在利用導數的相關知識做這道題目的時候，我們可以先根據前文說的利用導數求函數單調性的方法，求出函數解析式的導數，f（x），并求取它的單調遞增、遞減區間，然后再推理該函數的最大值或最小值，通過這道題可以看到，利用導數來求解函數中的最值問題，能夠有效簡化解題的過程，不僅能夠快速計算出函數的最值，而且得出的結果還比較可靠，可以說導數是解決最值問題的一個有效方法。

總之，導數是高中數學教學中解決函數問題的一個非常有效實用的方法，教師應當幫助學生良好地掌握導數與函數的應用技巧。以上便是我提出的幾點高中數學中導數與函數的應用，希望能夠對廣大教師有所幫助。

【參考文獻】

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