對一道期末考題的課堂討論

江蘇省姜堰中學 王立振 袁清雯

筆者在講評一道期末聯考題時，做了一些嘗試和探索，同學們的課堂表現積極活躍，現整理成文，與大家交流.

1.考題展示

題1在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，，EF＝1且EF在BC上移動，則的取值范圍為________.

本題主要考查向量的數量積，其主要解決方法有：（1）建立坐標系利用向量坐標運算來求解；（2）線性轉化，用向量數量積的定義來求解.

大部分同學遇到的主要困難在于：若用坐標運算求解，如何用一個變量刻畫兩個動點；若用數量積的定義，與的模和夾角都在變化.

通過下面的課堂交流，同學們和我都是頗有受益.

2.課堂討論實錄

老師：本節課我們來一起交流此題的解決方案，請同學們暢所欲言.

同學1：老師，向量與都在變化，如何求解它們的數量積呢？

同學2：把與轉化，假設CE＝x，則有，故有；又由邊長之間的關系，可知，進而得到.又因為x∈［0，3］，所以.

老師：同學2解答得非常好！他通過設出一個變量，利用向量之間的相互關系，用一個變量表示多個變量，進而找到一個關于這個變量的函數，將一個向量數量積的取值范圍問題轉化為關于一個變量的函數值域問題.那么有沒有其他不同的想法？

同學3：老師，我知道向量數量積的問題可以建系用坐標來求解：以A為坐標原點，AB所在的直線為x軸建立如圖1所示的坐標系.

同學4：建系容易，但是如何用變量來刻畫兩個動點呢？

同學5：E，F在邊BC上運動，且BC上點的橫、縱坐標滿足關系式.但如何用一個變量來表示兩個動點呢？

同學6：如圖2所示，過點F作x軸的平行線與過E點作y軸的平行線相交于點D，由EF＝1，易得.

圖2

老師：有沒有其他同學對上述解法進行補充的？

同學7：題目中“EF在BC上移動”，不僅F的橫坐標x∈［0，2］，還要有E的橫坐標x-，解得，故的最大值不是15，而是9.

老師：同學們回答得很好，值得表揚.利用建系設坐標的方法來求解向量的數量積，關鍵在于如何用變量來表示兩個動點，同學們注意到了兩個動點的橫坐標與縱坐標之間的關系以及兩點間的距離關系，進而用一個變量來表示，再利用二次函數的性質來求解，但要注意自變量的取值范圍.那么，還有沒有同學有不同的想法？

同學8：老師，向量的數量積還可以用定義法來解決，但是和的模在變，而且夾角也在變，這怎么求呀？

同學9：我在EF上取中點P，則.因為，所以.

圖3

老師：回答得太完美了！將多個動點問題轉化為一個動點問題，將陌生的問題轉化為熟悉的問題，再運用一些基本方法和基本解題思路，進而解決問題.同學們還有沒有其他方法要補充？

同學10：老師，考試的時候，我雖然得到了正確結果，但是我是猜的.

老師：你是怎么猜的？

同學10：因為E，F在線段BC上運動，肯定有一些特殊情況，我就將這些特殊情況都計算一下，然后再比較一下，最后得到的取值范圍.

老師：你計算哪些特殊情況下的的值？

同學10：我計算了四種情況：

第一種，如圖4①所示，當點E與點C重合時，有，從而得到；

第二種，如圖4②所示，當EF的中點與線段BC的中點重合時，有，從而得到；

第三種，如圖4③所示，若設EF的中點為點P，則當AP⊥BC時，有，從而得到

第四種，如圖4④所示，當點F與點B重合時，有，從而得到，

圖4

老師：同學們認為這樣做可以嗎？

同學11：我認為不可以.假如的取值范圍不在這幾種特殊情況中，而是在一個非特殊點處取得最大值或者最小值，那么同學10的做法就不能得到準確的取值范圍了.

老師：雖然這種做法存在一些缺陷，但這種解題思路（特殊與一般的解題思想）是需要引起我們關注的.這種方法不推薦，但需要我們了解，以備不時之需.

3.課后檢驗

老師：請同學們對這節課的所思所學進行回顧總結，題2、題3作為補充練習.

題2在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E，F分別為BC，CD上的任意動點，求的取值范圍.

（答案：［0，25］.解決題2的思路是利用特殊與一般的方法，考查的幾種特殊情況.）

題3在正△ABC中，AB＝4，EF＝1且EF在BC上移動，求的取值范圍.