注重思考，把握本質
——我做數學文化題的思考與感悟

周育丞

寒假我在網上查看上海市高考試卷，發現一道數學文化題：

《九章算術》中，稱底面為矩形而有一側棱垂直于底面的四棱錐為陽馬.設AA1是正六棱柱的一條側棱，如圖1，若陽馬以該正六棱柱的頂點為頂點，以AA1為底面矩形的一邊，則這樣的陽馬的個數是（ ）

A.4 B.8 C.12 D.16

圖1

看完此題，我注意到題中有個陌生的概念“陽馬”，我不禁思考：到底什么是陽馬？高考為什么要選擇陽馬來考查？

一、陽馬就是一個特殊的四棱錐

本題中稱“底面為矩形而有一側棱垂直于底面的四棱錐為陽馬”，按照《九章算術》的定義，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，如圖2.

圖2

圖3

即底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.那么，由于陽馬以該正六棱柱的頂點為頂點，如圖3，在以AA1為一邊的矩形中，E1A1⊥平面AA1B1B，則四棱錐E1-AA1B1B為陽馬，同樣四棱錐D1-AA1B1B為陽馬，四棱錐D-AA1B1B為陽馬，四棱錐E-AA1B1B為陽馬；同理，分別以矩形AA1C1C、矩形AA1E1E、矩形AA1F1F為底面的陽馬各有4個.這樣的陽馬的個數是16個，答案選D.

不難看出，陽馬只是一種稱呼，本題其實還是考查立體幾何的知識.

二、陽馬、鱉臑和塹堵

做完上題后，我查找了關于《九章算術》的資料，想要更好地了解古人對立體幾何的研究.我發現劉徽提出了一個重要原理“斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑.陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也”，今稱為劉徽原理.國外數學大師高斯、希爾伯特也討論了這個問題，很遺憾這已經是多年以后的事了.劉徽原理中除了涉及陽馬還提到兩個寶貝：塹堵和鱉臑.《九章算術》中，塹堵指底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱；將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.

例1《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑，如圖4，在陽馬P-ABCD中，側棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，過棱PC的中點E，作EF⊥PB交PB于點F，連結DE，DF，BD，BE.試判斷四面體D-BEF是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，說明理由.

圖4

分析根據鱉臑的定義，假如四面體B-DEF是一個鱉臑，就需要選擇一條垂直于底面的側棱，而四個面都應該是直角三角形.我們選擇BF為側棱，面DEF為底面.

證明BF⊥平面DEF，即證明PB⊥平面DEF.由于PB⊥EF，只需證明PB⊥DE，這可以由DE⊥平面PBC獲得.

由BF⊥平面DEF，DE⊥平面PBC，可知四面體B-DEF的四個面都是直角三角形，四個面的直角分別為∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB.

變式1如圖5，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，試判斷四面體P-ABC是否為鱉臑？

不難判斷四面體P-ABC是鱉臑.

圖5

例2《九章算術》是我國古代數學名著，它在幾何學中的研究比西方早一千多年.例如塹堵指底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱，陽馬指底面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐，鱉臑指四個面均為直角三角形的四面體.如圖，在塹堵ABC-A1B1C1中，AC⊥BC.

（1）求證：四棱錐B-A1ACC1為陽馬，并判斷四面體A1CBC1是否為鱉臑，若是寫出各個面的直角（只寫出結論）.

（2）若A1A＝AB＝2，當陽馬B-A1ACC1體積最大時.①求塹堵ABCA1B1C1的體積；②求C到平面A1BC1的距離.

圖6

解答略.

從本題條件我們可以看出塹堵是一種特殊的三棱柱，陽馬指一種特殊的四棱錐，鱉臑是一種特殊的四面體.三者可以融為一體，塹堵的體積等于特定的陽馬和鱉臑的體積之和.現在我就明白了前文敘述的“斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑.陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也”的大概意思了.就是：斜截一個三棱柱的塹堵，可得到一個四棱錐的陽馬和一個三棱錐的鱉臑.

三、感悟

什么是數學文化？翻看這幾年的試卷，我發現高考題往往通過創設新的情境、改變設問方式，將我國古代數學里的實際問題和研究成果，從數學史、數學應用等角度，結合函數、數列、立體幾何、算法、概率等內容命題.

數學文化題本質上就是一類創新能力題.這類題讓我們在思考與探究中，增強了民族自豪感，陶冶了審美情操，提高了文化修養.因此，我們要加強對數學文化試題的研讀，拓展自己的數學思維，提升自己的數學素養.