三種途徑探求直線上的不動點

南京市第九中學 張榮彬

在學習解析幾何時，同學們經常會遇到證明某動直線恒過定點的問題，這類題目解題方向明確，解法相對固定可控.下面以“一題多解＋多題一解＋解法綜述”的形式加以展示.

一、一題三解

例1在直角坐標系xOy中，F，A，B分別為橢圓的右焦點、右頂點和上頂點，已知OF＝FA，，過點P（0，2）作直線l交橢圓于M，N兩點，過M作平行于x軸的直線交橢圓于另外一點Q，連結NQ，求證：直線NQ經過一個定點.

思路1：追蹤探源求方程

設M（x1，y1），N（x2，y2），則Q（-x1，y1），且，直線NQ的方程為，令x＝0得，所以直線NQ經過定點.

思路2：極化位置猜定點

在上面的方法中，為什么在求出NQ的方程后令x＝0？即如何發現定點位于y軸上呢？如圖當直線l′過Q時，所得的直線N′Q與原來位置上的NQ關于y軸對稱，借助圖形容易發現定點必在y軸上.

圖1

不僅如此，我們還可以更進一步：特別地，當l過橢圓的右頂點N（2，0）時，l的方程是y＝-x＋2，代入橢圓方程求得，所以，NQ與y軸的交點就是所求的定點.

至此，你記下這個定點T，假裝忘記之前所有的探索過程，答題時，你只要完成以下的步驟即可：

（1）將y＝kx＋2代入橢圓方程得（3＋4k2）x2＋16kx＋4＝0，

設M（x1，y1），N（x2，y2），則Q（-x1，y1），且；

思路3：鎖定目標設直線

暫不考慮直線NQ的來路，直接設其方程為y＝kx＋m，代入橢圓方程得（3＋4k2）x2＋8kmx＋4m2-12＝0，設Q（x1，y1），N（x2，y2），則，.因P（0，2），M（-x，1y1），N（x2，y2）共線，所以x2（kx1＋m-2）＋x1（kx2＋m-2）＝0，2kx1x2＋（m-2）（x1＋x2）＝0，代入解得.所以直線NQ的方程是，直線NQ經過定點.

按上面三個解法的思路基本上可以完成直線過定點的相關問題.三種解法展示了解決此類問題的通用方法.

二、學以致用

例2已知橢圓b＞0）過點P（-1，-1），c為橢圓的半焦距，且.過點P作兩條互相垂直的直線l1，l2與橢圓C分別交于另兩點M，N.

（1）設直線l1的斜率為k（k＞0），若線段MN的中點在y軸上，求k的值；

（2）求證：直線MN過一定點.

同學們可以按例1的三個思路分別嘗試求解，再對照題后的簡析進行對比反思.

解析（1）求出橢圓C的方程為.設直線l1：y＋1＝k（x＋1）（k＞0），與橢圓方程聯立得M的坐標為.用替換k可得點N的坐標為.因為線段MN的中點在y軸上，所以xM＋xN＝0，因為k＞0，解得.

（2）思路1：能根據兩點坐標求出MN的方程嗎？

追蹤M，N的產生過程，利用（1）可先算出斜率，再接著求MN的方程？已經沒有勇氣寫下去了！

思路2：能預先猜出定點位置嗎？

考慮特殊情形，可以發現：當直線l1和l2的斜率有一個不存在時，可得直線MN的方程為y＝-x.又由（1）知，當k＝時，直線MN的方程為，故定點應為.成功地找出定點，以下只須證明M，N，H三點共線，運算量瞬間減少了！

思路3：能直接設出MN的方程嗎？

設MN的方程為y＝kx＋m，與橢圓方程聯立得（1＋3k2）x2＋6kmx＋3m2-4＝0，設M（x1，y1），N（x2，y2），則x1＋x2＝，因為PM⊥PN，所以，（x1＋1）（x2＋1）＋（y1＋1）（y2＋1）＝0，（1＋k2）x1x2＋（km＋k＋1）（x1＋x2）＋m2＋2m＋2＝0，代入得k2-3mk＋（m＋1）（2m-1）＝0（*）.

所以（k-m-1）（k-2m＋1）＝0，所以m＝k-1或2m＝k＋1.

當m＝k-1時，直線MN的方程為y＋1＝k（x＋1），直線過定點（-1，-1），不合題意；

當2m＝k＋1時，直線MN的方程為2y-1＝k（2x＋1），直線過定點.

三、解法綜述

1.方法提煉

通過對例1、例2的學習與實踐，相信同學對證明直線過定點問題會有更為深入的理解，思路1是根據直線具備的條件求出其方程，旨在用方程的代數特征揭示定點的位置；思路3是先設出動直線的方程為y＝kx＋m，然后利用直線滿足的條件來確定k與m的關系，這兩個思路有較大的相關性；而思路2的“功夫在題外”，它是利用特殊化的思想將定點的位置找出來，然后證明三點共線.

2.細節反思

運算是解析幾何中無法回避的一個話題，本文的兩個例題表面看似不難，實則處處有險境，每一步的推進都要求我們有扎實的功底.就例2來說，（1）中求k的值、思路2中將代入求的坐標，之后證明M，N，H三點共線以及思路3中對（*）式的因式分解等過程都有較大的運算量和思維量.可見，正確解題時不僅要有思路，而且要有實施及表達思路的能力.

3.學法優化

在平時的學習中，要重視對一題多解和多題一解的訓練.一題多解可以拓展解題思路，培養思維的靈活性和發散度，讓我們能根據不同的題設在多種方法中擇佳選優.不固守某個單一方案，要有多個方法的儲備，這樣才能對解法做出預判，從而作出正確的進退選擇（不是每個題目都可用多種方法解決，也沒有哪種方法能解決所有相關的問題，如例2中思路1就做不下去了）.多題一解是指用相同的方法解決不同的題目，例1與例2就是二題一解，其優點就是幫助我們鞏固所學的技能技巧，形成解題模式.一題多解與多題一解相結合，能讓我們不斷地開拓疆土、固守領地，成為解題強人.