是概率出問題了嗎

趙秋雨

我曾遇到過這樣一題：

在半徑為1的圓內任作一條弦，則弦的長度超過該圓的內接等邊三角形邊長的概率是多少？

這顯然是一個幾何概率問題.我的解法是這樣的：

分析與解

法一如圖1，△ABC為圓O的內接等邊三角形.現在圓內任意作弦.由于對稱性，不妨將弦的一端固定在△ABC的頂點A處，當弦的另一端點P落在劣弧上時，PA＞AB.當點P落在以外的圓周上時 ，PA＜AB.（不考慮弧的端點處）

假設事件E表示“任意所作的弦的長度超過圓內接等邊三角形的邊長”，ω表示事件總體，這時，于是

或者類似地，

法二如圖2，不妨將弦的一端固定在等邊三角形的頂點A處，另一端繞著圓O運動，即令弦AP繞著點A旋轉.

若l為圓O在點A處的切線，則與此切線交角在和之間的弦才能超過△ABC的邊長.而所有弦與切線l的夾角在0到π之間，故

然而，本題的參考答案卻給出了完全不同的解法和結果：

法三如圖3，圓內弦的位置被弦的中點唯一確定.在圓內作一同心圓，其半徑為大圓的一半.則當弦的中點落在小圓內時，弦長才能大于圓內接正三角形的邊長.

圖1

圖2

圖3

并且參考答案中說，這是一個貝特朗問題，答案并不唯一.

這令我疑惑不解！老師告訴我們，概率是隨機事件本身固有的屬性，不會隨著試驗次數、計算方法等因素而有所改變.在這個問題中，同一事件的概率，為何會因為計算的角度不同而得到不同的答案呢？難道是概率本身出了問題？

通過認真思考和查閱資料，我終于發現不是概率出了問題，而是“人”出了問題.數學是一門嚴謹的學科，問題的求解方法可以有多種，但結果應該一致.貝特朗問題之所以會出現不同的答案，是因為人們觀察隨機試驗的基本結果的角度不同，同時對結果的等可能性假設也有不同的理解.

例如我的解法1中，當弦的一端A固定后，我所認為的等可能結果是：弦的另一端點P在圓弧上是等可能出現的.問題轉化為點P落在圓周的某段弧上的概率問題.結合解法3，如果也以弧的中點來考慮問題：當點P從點A出發沿圓周運動一周時，弦PA的中點M的運動軌跡是一個以OA的中點為圓心，半徑為的圓（如圖4，此處證明略）.當點P落入劣弧內時，對應的中點M的軌跡為.而的度數為，所以所求的事件概率為

圖4

也就是說，同樣以弦的中點來考慮問題，當假定弦的一端固定時，本題中隨機事件對應的幾何量為一維的曲線長度；而若不固定弦的端點，在區域內隨機作弦時，事件所對應的幾何量則為二維的圖形面積.并且所得的結果不同.看來并不是概率出了問題，而是我們思考問題的角度發生了變化，是我們的“假設”出了問題.