高中數學“隱形圓”問題探究

陸曉鳴

摘 要：數學問題變化無窮，教師要善于引導學生總結歸納問題的規律。就有關圓的數學問題而言，有些數學問題看似無關乎圓，但深入分析其幾何意義，就可以利用圓的知識解決。文章探討高中數學中“隱形圓”問題，旨在提高學生解決數學問題的能力，發展學生數學思維。

關鍵詞：高中數學;隱形圓;數學教學;數學思維

中圖分類號：G633.6文獻標志碼：A文章編號：1008-3561（2019）10-0057-01

作為高中數學知識體系中的重要知識點，圓的相關知識和問題是歷年高考數學的重點。近幾年“隱形圓”問題出現的頻率很高，該類問題不但考查學生對圓的相關知識的理解和掌握程度，還綜合考查學生運用圓的知識解決數學問題的能力。解決此類問題的訣竅在于準確把握圓的知識與其他數學知識之間的聯系，準確找出“隱形圓”。因此，教師可以結合具體數學題目解析探討“隱形圓”問題，幫助學生更好地解答“隱形圓”問題，提高其解題能力。

一、根據圓的定義發現隱形圓

例1：已知向量■=（4，0），■=（0，4），■=（■cos？茲，■sin？茲），則■和■之間的夾角范圍是多少？解析：點P的軌跡是以點N（0，4）為圓心，■為半徑的圓，經過點O（0，0）作圓的切線，得到切點A、B，則∠NOA=∠NOB=■，可知∠AOM=■，∠BOM=■，可得向量■與向量之間的夾角■范圍為[■，■]。評注：該題目的解題訣竅在于根據已知條件得出|■|=■，可知點P到點N的距離與定值相等，依照圓的定義，找到隱形圓——點P的軌跡以N（0，4））為圓心，■為半徑的圓，再根據這個隱形圓確定向量■與向量■夾角的臨界位置，從而確定夾角范圍。

二、利用對角互補的四邊形的四個頂點共圓找到隱形圓

例2：假設向量■、■、■滿足 ■，■■■■■，且■-■和■-■之間的夾角為■，則 ■的最大值是多少？解析：設？茲為■、■的夾角，由■，■■■■■，得到？茲=■，向量■、■、■的起點平移至相同起點O，終點分別為D、E、F，則■-■=■，■-■=■，且∠DFE=■，因此，D、O、E、F四點在同一個圓上，即點F在△DOE的外接圓上。當OF為直徑時，■取最大值，根據余弦定理可知DE=■，再根據正弦定理可知△DOE的外接圓直徑為■。評注：根據平面四邊形DEFG的對角和等于？仔，則D、E、F、G四點在同一個圓上，再根據圓的所有弦中直徑最長來處理，可以大大簡化計算步驟，而且也更容易理解。

三、根據直徑所對圓周角等于90°發現隱形圓

例3：假設實數d、e、f成等差數列，點A（1，0）在動直線dx+ex+f=0上的射影為P，點N（2，1），則線段AN長度的取值范圍是多少？解析：由于實數d、e、f成等差數列關系，可知2e=d+f，即d-2e+f=0，和方程dx+ex+f=0對比可知，動直線永遠經過定點Q（1，-2），由點A（-1，0）在動直線dx+ex+f=0上的射影為P，可知∠APQ=■，因此點P在以AQ為直徑的圓上，圓心坐標為（0，-1），半徑為■，點N與圓心的距離為2■。因此，線段AN的長度取值范圍為[■，3■]。評注：該題目中，由∠APQ=■、AP⊥QP可以推出點P在以AQ為直徑的圓上，從而找到隱形圓，將問題轉換成求圓上點到定點距離取值范圍的問題。

四、構建坐標系求動點軌跡方程發現隱形圓

例4：已知△DEF中，DE=2，DF=■EF，請問△DEF面積最大值是多少？解析：可以構建坐標系，以DE邊所在直線為橫軸，DE中垂線為縱軸建立平面直角坐標系，則D點坐標為（-1，0），E（1，0）。假設點F（m，n），由DF=■EF，可得■=■■，經過化簡整理可得（m-3）2+n2=8，即點F在圓（m-3）2+ n2=8上運動，可知S△DEF=■DE·|n|=|n|≤2■。因此，△DEF面積最大值為2■。評注：由于DE的值是固定的，可知△DEF面積的大小由點F的位置決定，因此，通過構建平面直角坐標系，得到動點F的軌跡方程，就可以求解出面積最大值。

五、通過三角代換構造隱形圓

例5：假設實數■、■、■滿足d 2+e2=f 2，f≠0，則■的取值范圍是多少？解析：根據已知條件d2+e2=f2，f≠0，可知（■）2+（■）2=1，假設■=cosθ，■=sinθ，θ∈[0，2？仔），因此可以設k=■=■=■，表示點M（2，0）和圓x2+y2=1上的點連線的直線斜率。假設直線l：y=k（x-2），則■≤1，解得-■≤k≤■。因此，■∈[-■，■]。評注：該題目將齊次式d 2+e2=f 2，f≠0，同除e2得（■）2+（■）2=1，利用sin2θ+cos2θ=1，構造x2+y2=1單位圓加以處理。

綜上所述，教師應引導學生重視解題過程的分析，不斷提高直觀化思維水平及數學感知能力，善于通過問題的表象快速找到解決問題的突破口和問題的本質，從而提高數學解題能力。

參考文獻：

[1]劉長偉.例析數學問題中的隱形圓[J].高中數學教與學，2017（03）.

[2]章文昊，殷偉康.例析“隱形圓”問題的解題策略[J].中學數學，2018（11）.