漫談數學中的反證法

馬文博

【摘要】反證法在數學中是一種非常重要的證明方法，無論是在初等數學中還是在高等數學中都是極為常用的，學會什么是反證法和如何應用反證法這一重要的數學思想來證題是十分必要的.

【關鍵詞】反證法;應用;數學思想

反證法在數學中是一種十分重要的數學證明方法，它同綜合法與分析法一樣，不但歷史悠久，而且應用的范圍也很廣，它對數學命題的證明而言有著不可替代的作用.只有恰當地使用反證法，才能夠化難為易，化不可能為可能.在初等數學和高等數學中反證法都是極為常用的.無論是數學中最基本的定理、性質，還是難度較大的世界名題，若應用反證法來進行證明，都能夠收到最佳效果.我們可以毫不夸張地認為，如果數學中沒有了反正法，只能是比較原始的數學，是不完整的.所以，對反證法的實質進行深刻的學習與理解，掌握應用反證法解題要領，對運用反證法來解決實際問題有著十分重要的意義.

一、反證法的由來及產生與背景

“……薩謝利讀了歐幾里得的《原本》后，讓歸謬法深深地吸引住了，……在《邏輯證明》這本書中，把歸謬法用于平行公設的研究”，這里所說的歸謬法就是我們所講的反證法，也就說在《幾何原本》中就出現反證法的運用了.[1]

有古希臘七賢之首之稱的泰勒斯在公元前六世紀中期最早在數學中引入了數學證明思想，直到公元前3世紀，古希臘數學家歐幾里得才將數學證明更廣泛的運用，而反證法（亦稱歸謬法）則是一種非常重要的數學證明方法，而且歷史悠久，古希臘有許多數學家早已運用自如.近代英國數學家哈代曾經這樣稱贊的談到，歐幾里得對歸謬法的喜愛，歸謬法是數學家有力的武器，跟象棋博弈時犧牲一個棋子用來取得優(yōu)勢相比，反證法更為高明，數學家索性把全局拱手讓予對方！[2]

二、什么是反證法

在證明一個命題時，如果反面著手思考，假設命題結論的反面是成立的，經過正確的推理分析得到與題中條件，定理等相矛盾，使命題的假設錯誤，間接地說明了結論的正面是正確的，這樣的一種間接的證題方法就是歸謬法，又稱為反證法.[3]

（一）反證法的含義

一般地，在證明一個數學命題過程中，首先要假設命題結論的反面是成立的，即從命題結論的反面著手探究，通過一系列的推理分析得到同題中條件，已知定理，等相矛盾的結果，使得結論反面成立這個假設是錯誤的得以肯定，即間接地證明了結論的正面是成立的，這樣的一種證題方法就被稱之為反證法.

反證法的運用的關鍵就在于歸謬，故反證法又被稱之為歸謬法.美國著名的教育家，數學家波利亞對這種證明方法做了一個很風趣的比喻：“歸謬法是利用導出一個明顯的謬誤來證明假設不成立.歸謬法是個數學過程，但它和諷刺家所愛好的做法—反話，有相似之處.反話，很明顯的認同某個見解，但強調它并且過分強調它，直到產生一個明顯的謬誤.”[4]

（二）反證法的邏輯原理

反證法的邏輯基礎從反證法的邏輯規(guī)律角度來看是排中律.就是指在同一思維推論過程中，如果出現兩個結論相互矛盾，則只有一個為正確結論.簡單地說就是要想證明此命題為假，就假設該命題為真，推出矛盾即可.

可知，論證命題A→B，只要從這個命題的否定出發(fā)，推出命題P與P兩個矛盾命題即可.由此我們思考一個簡單的問題，是否應用反證法時，所導出的結果一定是兩個矛盾命題P與P的合取式.[5]

原理 若A，B為命題，0為永假命題，則A→BA∧B→ 0.

三、反證法的一般步驟

應用反證法來證明數學命題時的一般步驟如下：

（1）準確分析命題“若A則B”;

（2）作命題B相矛盾的假定命題B;

（3）根據A和B，進行推理，推出矛盾.

正確分析產生矛盾的原因，是由于開始所做的假定命題B不正確，即B成立，則間接可證.[6]

四、應用反證法需注意的問題

如果使用反證法從多個不一樣的角度進行推理和分析一個命題，則能夠推出不同性質的矛盾，據此可得到不同的證明方法，在這些不同的證明方法中，可以發(fā)現，有復雜的證明方法，也有簡單快捷的證明方法，故在我們應用反證法證題的過程當中，應該學會根據命題本身的特點，選擇適當的方法進行推理，也就是說在我們應用反證法證題的時候應該注意以下幾點：一定要對結論進行正確的否定，這決定了能否正確運用反證法來證題，例“平面上的任意兩條直線最多只能有一個交點”，那么它的否定命題為“平面上的任意兩條直線最少存在兩個交點”，一定要仔細周密的考查原命題的結論，若有很多種情況與原命題結論矛盾，需一一否定，決不能有所遺漏;添加和補充假設后要根據原題中的條件和假設后結論的否定形式出發(fā)進行推理，整個推理過程一定要完全正確，如若不然，即使推出矛盾，也無法說明假設錯誤，即原命題成立;推理過程中必須應用已知條件，不然無法推出矛盾或無法斷定所推結論錯誤.[7]

雖然應用反證法證題十分方便，但是并不是所有的命題證明都是應用反證法更為好，任何方法都有它的適用范圍，如果超范圍使用就會出現解題錯誤，影響解題的正確率.也就是說有時直接法更為簡單，也就是說當我們看到需要證明的命題時，首先要觀察是否適合應用反證法，若適合，再正確巧妙地運用反證法，一步一步進行證明，若不適合，不能強用，反而累贅.若直接證明和應用反證法證明過程一樣簡單或復雜，則用哪種方法都可以.

【參考文獻】

[1]段耀勇，楊朝明.反證法的歷史沿革[J].河北廊坊武警學院報，2003（4）：86-88.

[2]段耀勇.從反證法的淵源透視反證法教學難問題[J].中國人民武裝警察學院學報，2006（2）：147-151.