高中數學中幾種特殊排列組合問題解析

周衍志

【摘要】排列組合是高中數學教學中的重要內容，對學生數學知識的深入學習能夠產生重要的影響.本文基于當前高中數學中幾種特殊的排列組合問題進行分析，以期能夠提升高中數學特殊排列組合教學的質量.

【關鍵詞】高中數學;特殊排列組合;問題解析;高中學生

排列組合主要可以分為兩個部分，即為排列與組合.排列主要是從已知的條件中進行元素的重新排列，組合則是將所選擇的元素進行重新組合.排列與組合在數學解題中應用的范圍相對較為廣泛，在實際的高中數學教學活動中，需要加強對學生數學知識學習的重視程度，并指導學生能夠結合排列組合基本理念，靈活解答數學問題，提升學生的數學問題解答能力.本文將結合當前高中數學課堂教學的實際開展情況加以分析，提出一些高中數學中特殊排列組合的相關教學建議，希望能夠對高中數學教學活動具有一定的促進作用.

一、相鄰元素捆綁策略

相鄰元素捆綁策略，主要是通過捆綁的方式進行問題解答，將相鄰的元素組合成為一個整體性元素，其次和其他元素進行綜合排列，在排列組合的過程中，需要注意元素內部需要保持良好的“秩序”.

比如，“7個人站成一排，A，B相鄰，C和D相鄰，請問有多少種排列方式.”在解答這道問題中，則可以采用相鄰元素捆綁的方式，將A和B，C和D視為一個整體，和其他元素進行相互排列，通過相鄰元素內部排列等等方式，能夠得出480種排列的方法.

二、正難則反總體淘汰策略

在解答一些排列組合問題中，如何采用正面思考的方式，則相對比較困難，解題也會受到重重阻礙，但是如果從反面進行思考，則會比較簡單、快捷.故而在問題解答的過程中，可以先求出它的反面，繼而進行綜合分析.

例如，“從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10個數字中選擇3個數字，保證三個數的和不低于10的偶數，不同的取法有多少種？”在解答這道問題中，如果僅僅通過正向解答的方式，求高于10的偶數，則相對比較困難.在問題解答的過程中，可以采用總體淘汰的方式，10個數字中，包含5個偶數，5個奇數，選擇的3個數字中，3個偶數的取法包含C35種，僅包含1個偶數的取法為C15C25種，和是偶數的取法為C15C25+C35種，去掉和低于10的偶數為9個，那么符合要求的取法則主要包含C15C25+C35-9種.

三、合理分類與分布策略

在解答包含約束條件的排列組合問題過程中，可以結合元素的性質進行有序分類與排列，比如，可以按照發生的時間進行排列，按照分層次的標準進行排列等等，實現有序排列與重新組合，將合理分類的思想貫穿于解題的過程中.

例如，某公司計劃購買1臺機器，該類機器使用三年后即被淘汰，機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元，在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元.現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數，得下面柱狀圖：

記x表示1臺機器在三年使用期內需更換的易損零件數，y表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用（單位：元），n表示購機的同時購買的易損零件數.

（2）若要求“需更換的易損零件數不大于n”的頻率不小于0.5，求n的最小值.

在問題解答的過程中，可以通過頻率大小進行比較，根據柱狀圖能夠得出，需更換的零件數不大于18的概率為0.46，不大于19的概率為0.7，故n的最小值為19.

再如，某次演唱會中確定10名演員，其中8名能夠唱歌，5名能夠跳舞，當前需要演出一個需要2個人唱歌，2個人伴舞的節目，提問具有多少種選擇的方法.在解答問題的過程中，10名演員中5人會唱歌，2人會跳舞，3人既能唱歌也能跳舞，故而僅僅會唱歌的5人，是否選擇成為唱歌人員是問題分析中的關鍵因素.通過分類計數的方法，基于題目能夠得出答案.

高中數學中幾種特殊排列組合問題一直以來都是課堂教學中的重點與難點，學生排列組合思想靈活應用的能力，將會直接影響學生的數學問題解答能力.在未來的高中數學課堂教學活動中，教師需要充分認識到排列組合思想教學指導的重要價值，通過多種多樣的課堂教學方式，提升高中數學課堂教學的質量，促進學生數學解答能力的快速發展.

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