數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)融入數(shù)學(xué)思考的案例研究

周華

[摘? 要] 數(shù)學(xué)地思考問(wèn)題、解決問(wèn)題這一思維活動(dòng)的形式應(yīng)該與數(shù)學(xué)操作相融合，只有這樣，學(xué)生的感性經(jīng)驗(yàn)才能在數(shù)學(xué)思維的活動(dòng)中順利上升為理性認(rèn)識(shí)，教師應(yīng)能抓住契機(jī)并為學(xué)生創(chuàng)造數(shù)學(xué)思考的機(jī)會(huì)，以達(dá)成數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)形式的和諧統(tǒng)一.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)思考;基本事實(shí);數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);幾何直觀;三角形全等

教師在三角形全等這一內(nèi)容的教學(xué)中一般都會(huì)設(shè)計(jì)一些數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思索與質(zhì)疑，本文結(jié)合具體的案例對(duì)判定三角形全等方法中的一些問(wèn)題展開了思考和研究.

三個(gè)基本事實(shí)驗(yàn)證方面的思考

教材在基本事實(shí)的呈現(xiàn)中一般都會(huì)安排以下實(shí)踐活動(dòng)：“請(qǐng)大家用量角器、刻度尺畫出三角形ABC，使其滿足AB=70 mm，∠A=60°，∠B=80°. 作出滿足條件的三角形后將其剪下并將之與同桌的三角形疊放于一起，大家看看這兩個(gè)三角形是否相互重合？”

教師在此活動(dòng)設(shè)計(jì)中往往會(huì)讓學(xué)生根據(jù)要求作三角形、剪三角形、疊放三角形并驗(yàn)證基本事實(shí)ASA對(duì)于特殊情況的正確性.

筆者在學(xué)生的這一活動(dòng)中經(jīng)常會(huì)觀察到如下現(xiàn)象：

現(xiàn)象1：學(xué)生在驗(yàn)證中發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形無(wú)法重合. 教師往往給出作圖有誤差的解釋，但學(xué)生對(duì)為什么一定要驗(yàn)證這兩個(gè)三角形重合心存疑惑.

現(xiàn)象2：學(xué)生復(fù)制后剪出兩個(gè)全等三角形并因此令驗(yàn)證失去了應(yīng)有的意義.

筆者曾經(jīng)詢問(wèn)過(guò)學(xué)生不按照教師要求活動(dòng)的原因，學(xué)生卻堅(jiān)持“本來(lái)就是重合的，又為何要去驗(yàn)證”的態(tài)度. 由此可見，學(xué)生在具備數(shù)學(xué)基本結(jié)論的基礎(chǔ)上仍舊會(huì)對(duì)操作驗(yàn)證的必要性持質(zhì)疑的態(tài)度，沒(méi)有數(shù)學(xué)思考的實(shí)驗(yàn)操作對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)、數(shù)學(xué)思維的發(fā)展都不能產(chǎn)生積極的意義.

事實(shí)上，若學(xué)生作三角形沒(méi)有誤差，就一定會(huì)得到兩個(gè)能夠重合的三角形，從數(shù)的角度對(duì)兩個(gè)三角形全等的條件進(jìn)行刻畫即能解釋三角形解的唯一性.

已知三角形兩角一夾邊，即∠A，∠B，以及c邊的長(zhǎng)，由正弦定理 =? = 可知三角形的解唯一. 如圖1，已知b、c、∠A，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bc·cosA，可求得a的唯一值，由余弦定理可得cosB=，由此確定∠B的大小并隨之確定∠C的大小.

已知三邊時(shí)，由余弦定理可得cosA=，可確定∠A的大小，同理確定∠B、∠C的大小.

有些學(xué)生往往會(huì)認(rèn)為SSA條件下的三角形也全等，教師面對(duì)學(xué)生的這一錯(cuò)誤認(rèn)知應(yīng)在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)思考，使學(xué)生能夠在感受三角形解的唯一性這一基本事實(shí)中進(jìn)行直觀分析并獲得結(jié)論的合理性[1].

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的思考教師在教學(xué)中可以設(shè)計(jì)如下問(wèn)題串并啟發(fā)學(xué)生思考.

（1）作圖前引導(dǎo)學(xué)生猜想：“請(qǐng)大家用量角器、刻度尺作△ABC，使其滿足AB=70 mm，∠A=60°，∠B=80°. 請(qǐng)大家將△ABC剪下并與同桌的三角形疊放于一起，這是我們即將要進(jìn)行的數(shù)學(xué)活動(dòng)，活動(dòng)之前請(qǐng)大家先猜一猜這兩個(gè)三角形是否能夠重合呢？”

設(shè)計(jì)意圖? 引導(dǎo)學(xué)生猜想兩三角形是否重合能使學(xué)生對(duì)滿足條件的三角形解的唯一性、三角形穩(wěn)定性等知識(shí)進(jìn)行思考，學(xué)生進(jìn)行積極思考的過(guò)程往往能對(duì)三角形解的唯一性獲得認(rèn)同.

（2）引導(dǎo)學(xué)生作圖后進(jìn)行觀察：“由條件可畫出哪幾種符合條件的三角形呢？大家將作出的三角形剪下并與同桌的三角形疊放于一起并觀察這兩個(gè)三角形的形狀、大小方面的情況吧. ”

設(shè)計(jì)意圖? 引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)猜想和作圖后進(jìn)行觀察能使學(xué)生的幾何直觀能力獲得發(fā)展.

（3）引導(dǎo)學(xué)生在疊放三角形后進(jìn)行反思：為什么會(huì)有同學(xué)的兩個(gè)三角形無(wú)法重合呢？

設(shè)計(jì)意圖? 引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)實(shí)驗(yàn)誤差對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論的影響并培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐操作的規(guī)范與嚴(yán)謹(jǐn).

（4）一般化動(dòng)態(tài)演示：利用幾何畫板演示三角形邊、角大小的改變，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)兩角一夾邊分別相等的三角形是否全等進(jìn)行觀察.

設(shè)計(jì)意圖? 引導(dǎo)學(xué)生在動(dòng)態(tài)演示的直觀觀察中發(fā)展幾何直觀能力并對(duì)三角形全等的條件進(jìn)行認(rèn)知與感悟.

學(xué)生在上述數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與思考中往往會(huì)對(duì)結(jié)論及結(jié)論的產(chǎn)生形成積極的思考，對(duì)基本事實(shí)正確性、合理性的理解也會(huì)因此逐漸形成.

作圖中的思考

學(xué)生在已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的影響下往往會(huì)聯(lián)想作圖操作這一方式進(jìn)行驗(yàn)證，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在作圖驗(yàn)證的基礎(chǔ)上進(jìn)行思維過(guò)程的整理，引導(dǎo)學(xué)生適當(dāng)改變作圖的順序并因此令復(fù)雜的作圖變得簡(jiǎn)潔[2].

探究“滿足兩邊一對(duì)角條件的三角形是否全等”時(shí)進(jìn)行類似思考. 如作出△ABC，使得AB=4 cm，BC=3 cm，∠A=30°.

若學(xué)生根據(jù)條件先作AB，再作BC，便會(huì)很快發(fā)現(xiàn)C點(diǎn)位置不確定并導(dǎo)致作圖中必須調(diào)整湊出30°角. 若調(diào)整作圖順序并先作∠A，再作AB和BC，作圖過(guò)程隨即變得簡(jiǎn)單很多. 不僅如此，學(xué)生很快會(huì)發(fā)現(xiàn)如圖2所示的符合條件的有兩個(gè)三角形，繼而獲得“滿足兩邊一對(duì)角條件的三角形不一定全等”這一結(jié)論.

教師在學(xué)生作圖之前可適當(dāng)進(jìn)行啟發(fā)：“邊和角哪個(gè)先畫能夠更加容易作出符合題意的三角形？可還有其他方法可以作出？”引導(dǎo)學(xué)生在作圖中進(jìn)行思考并分清幾何圖形中確定的幾何元素和不確定的幾何元素，∠A的大小在上述幾何作圖中是確定的，AB，BC也是確定的，但∠ABC不確定，啟發(fā)學(xué)生在理性思考中對(duì)作圖順序進(jìn)行調(diào)整并最終令作圖過(guò)程更為簡(jiǎn)單.

圖形觀察后的數(shù)學(xué)思考教師在一般三角形全等、直角三角形全等的判定教學(xué)之后，可設(shè)計(jì)如下問(wèn)題.

問(wèn)題1：如圖3，△ABC、△DEF均為銳角三角形，∠A=∠D，AB=DE，BC=EF，則△ABC和△DEF全等嗎？為什么？

學(xué)生在直觀觀察中很快能夠發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)三角形全等，不過(guò)，幾何直觀的說(shuō)服力并不客觀，演繹推理還是必需的，但關(guān)于銳角三角形SSA的判定在三角形全等的判定方法中并沒(méi)有描述，因此，教師在學(xué)生直觀發(fā)現(xiàn)三角形全等之后還應(yīng)啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行更加深刻的思考.

簡(jiǎn)析? 過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥DF，垂足為點(diǎn)G（如圖4）. 根據(jù)已知條件，可證明△ABH≌△DEG，可得BH=EG，繼而證得△BHC≌△EGF，從而得出∠C=∠F，由AAS定理可證△ABC≌△DEF.

問(wèn)題2：如圖5，△ABC與△DEF中，∠A=∠D>90°，AB=DE，BC=EF，求證：△ABC≌△DEF.

簡(jiǎn)析? 過(guò)點(diǎn)B作BH垂直CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作EG垂直FD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，（如圖6）. 與問(wèn)題1的證明方法相似，首先證明△AHB≌△DGE，可得BH=EG，再證明△CHB≌△FGE，從而證得∠C=∠F，由AAS判定定理可證得△ABC≌△DEF.

筆者設(shè)計(jì)這兩個(gè)問(wèn)題之時(shí)，學(xué)生已經(jīng)系統(tǒng)地學(xué)完了三角形全等的判定. 引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“邊邊角”的判定是否能夠成立進(jìn)行有意義的探究，能使學(xué)生在這一知識(shí)點(diǎn)上的認(rèn)知得以不斷加深. 學(xué)生在特殊例子的探究中首先明確了滿足兩邊一對(duì)角的兩個(gè)三角形并不一定全等，系統(tǒng)建立判斷三角形全等的相關(guān)知識(shí)之后對(duì)“邊邊角”問(wèn)題再次展開深入的研究，對(duì)“一定成立”背后的理由進(jìn)行探尋，能使學(xué)生思維的深刻性在嚴(yán)格的推理論證中獲得很好的發(fā)展.

數(shù)學(xué)地思考問(wèn)題、解決問(wèn)題這一思維活動(dòng)的形式應(yīng)該與數(shù)學(xué)操作相融合，只有這樣，學(xué)生的感性經(jīng)驗(yàn)才能在數(shù)學(xué)思維的活動(dòng)中順利上升為理性認(rèn)識(shí)，學(xué)生也才能在操作經(jīng)驗(yàn)升華為思維經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程中獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累和數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展[3]. 學(xué)生在判斷三角形全等時(shí)所產(chǎn)生的質(zhì)疑對(duì)于教師也是一種提醒，教師應(yīng)能抓住契機(jī)并為學(xué)生創(chuàng)造數(shù)學(xué)思考的機(jī)會(huì)以達(dá)成數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)形式的和諧統(tǒng)一.

參考文獻(xiàn)：

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[3]周俊，郭其俊.課堂教學(xué)究竟應(yīng)該關(guān)注什么？——北美課堂給我們的啟示[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2014（34）：67-68.