高中數學應用題中的最值問題分析

陳永科

【摘 要】隨著新課程改革的不斷推進，高中數學教學和考察更加重視問題實際化，數學應用題當中有很多最值問題都是與實際問題相結合進行考察，這在一定程度上也提高了解題難度，成為許多高中生學習數學知識中的重點和難點。而解決這類問題最為主要的一點就是建模，利用已知的數學模型對其進行解決，會使問題顯得更為簡單。本文主要探討了幾種最為常用的最值問題解題方法與問題解析的一般步驟。

【關鍵詞】高中數學；應用題；最值問題；建模

高中階段的數學知識具有更強的復雜性，更加重視對學生解決實際問題能力的考察，而最值問題作為高考最為常見的一類題型，已經成為高中數學教學活動中的重點。作為一名高中數學教師，怎樣才能有效引導學生對此類問題形成更好的解答，更好的形成解題思路，提高學生的學習成績，值得廣大教育工作者更為深入的探索。

1.高中數學應用題中最值問題的主要解法

與其他類型的數學題相比，高中階段應用題當中的最值問題通常背景較為復雜，而且涉及面較廣，其解題方法較為靈活多變，屬于學生學習中的難點。也是高中數學教師教學活動開展的重點，可以將其主要解法歸納為以下幾個方面：

1.1函數模型解法

函數屬于高中數學當中的重點內容，與函數相關的應用問題題目來源十分廣泛，題型往往比較新穎，解題方法靈活多變，屬于高考中的熱點內容。在許多應用題當中都會涉及到方案最優(yōu)化的內容，解決的方法則通常為建立目標函數，把問題直接轉化為對目標函數最值的求解。而求解函數模型的方法主要包括配方法、數形結合、基本不等式、單調性、求導以及三角函數有界性等，具體應該采用何種方法應該結合具體問題進行具體分析。

例1：在冬季保暖與夏季制冷中減少能源消耗，需要在房屋屋頂以及外墻部位加設隔熱層。一幢居民樓設計建造可使用至少二十年的隔熱層，其每厘米隔熱層的建造成本是6萬元。此建筑每年所需的能源消耗費用c（單位：萬元）和隔熱層的厚度x（單位：厘米）之間滿足關系c（x） （0≤x≤10），如果不設置隔熱層，每年的能耗費用是8萬元。設f（x）是建造費用跟二十年能耗費用二者之和。①求k值和f（x）表達式；②當隔熱層修建厚度為多少時，總費用最小，求出最小值。

解：①由題干可知隔熱層厚度是x，每年能源費用是c（x） 。因為c（0）=8，可得k=40，所以c（x） 。而建造費用是c （x）=6x。得到兩者費用之和是：f（x）=20c（x）+c （x）=20× +6x= +6x（0≤x≤10）

②f'（x）=6- ，現令f'（x）=0，則 =6，求解得x=5，x=- （舍去）。所以x=5時，f（x）為最小值，代入得f（5）=70。所以在隔熱層為5厘米厚的時候，總費用最低，為70萬元。

1.2不等式組模型解法

不等式模型也是應用題中最值問題的常用解法，其主要涉及到物資調配、最優(yōu)決策以及統(tǒng)籌安排等實際問題。求解此類問題的關鍵在于找出各種變量之間的關系，隨后列出不等式，求解即可。

例2：某廠家生產甲、乙兩種產品，每生產甲產品一噸需要耗費A原料3噸和B原料2噸，而每生產乙產品一噸需要耗費A原料1噸和B原料3噸。每噸甲產品銷售后廠家可獲利5萬元，每噸乙產品銷售后可獲利3萬元。此企業(yè)一個生產周期之內消耗A、B兩種原料量分別不超過13噸和18噸，則企業(yè)能夠獲得的最大利潤為多少？

解：設當甲、乙兩種產品各生產x和y噸時，利潤z最大，由題意得出線性約束條件： 3x+y≤13

2x+3y≤18

x≥0

y≥0，求函數z=5x+3y的最大值。如圖1，可得出最優(yōu)解是 x=3

y=4，因此zmax=27，則該企業(yè)在一個生產周期內最多能獲利27萬元。

1.3幾何模型解法

對幾何模型的解析通常會涉及到光的折射、橋梁以及人造衛(wèi)星等問題。該類問題通常需要建立直角坐標系，結合有關解析幾何方面的相關知識對問題進行解決。而立體幾何模型通常會涉及面積、體積以及空間觀測等問題。此類問題需要利用立體幾何以及三角函數等方面的知識進行解決。

例3：如圖2所示，衛(wèi)星與地面間電視信號沿著直線進行傳播，電視信號可以傳達到的地面區(qū)域稱之為衛(wèi)星覆蓋區(qū)域。某國發(fā)射的衛(wèi)星距離地球表面約36000千米。已知地球的半徑是6400千米，則該衛(wèi)星覆蓋區(qū)域當中任意兩點之間球面距離的最大值為多少？

解：如圖2所示，AO=36000+6400=42400，OB=OA=6400，圓O'是衛(wèi)星覆蓋區(qū)域邊界，AB是圓O'直徑，因此在Rt△ABO當中，cos∠AOB=8/53，因此覆蓋區(qū)域當中任意兩點距離最大值L=θ·R=2∠AOB·R=12800arccos8/53。

1.4概率統(tǒng)計模型解法

該類題目通常是考察學生一些相對較為簡單的隨機變量問題、概率問題、抽樣問題以及頻率分布問題等。在求解的過程當中，需要依據題目中的條件，同時結合考察內容，具體選擇合適的解題方法。在目前新課程實施節(jié)奏逐漸加快的背景之下，作為一種十分新穎的內容，概率統(tǒng)計模型在高考中占據了更加重要的位置。

2.高中數學應用題中最值問題解析的一般步驟

經過上文的論述可以發(fā)現，應用題當中的最值問題屬于一類較為特殊的應用問題，其具有較強的復雜性，覆蓋面較廣。不過，其解題步驟跟普通應用題解題的步驟則較為相似，需要學生足夠認真，以免在解題過程中遺漏一些細節(jié)。

結束語

總而言之，應用題當中的最值問題屬于高中數學中的重點和難點，在高考中的占比在逐年上升，需要引起廣大師生的高度關注。數學教師在日常教學活動中要積極引導學生進行總結和歸納，讓學生在腦海中建立起更為豐富的數學模型，抓住題目中的每一個細節(jié)，更加高效而準確的解決最值問題，為教學質量的不斷提升形成良好的保障。

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