高慧明老師講數學（1）
——曲線軌跡方程的求法綜析

■北京市第十二中學 高慧明

編者的話：數學在高考中占有重要地位，而數學試題一般都有不小的難度，該怎樣求解數學試題呢?方法很重要，我們因此特邀一線數學名師高慧明老師講解數學問題，分析解題思路，探究解題規律，總結解題方法，以幫助同學們領悟求解數學問題的關鍵所在。本期主要講解曲線軌跡方程的求法，請同學們讀讀想想，希望能有所收獲喲!

本刊特邀欄目專家簡介:

高慧明首屆全國十佳班主任，北京市高中數學特級教師，國家教育部課程改革“全國先進工作者”，全國著名高考數學命題與考試研究專家，國家教育部“國培計劃”全國中小學教師培訓和班主任培訓特邀主講專家，受邀為教育部“國培計劃”做有關高中數學課堂教學、班級管理、教師專業成長等專題報告多場，在全國引起強烈反響。出版個人專著《高考數學命題規律與教學策略》《高中數學思想方法及應用》《讓高中生學會學習》《高慧明班級高效管理藝術》《高慧明數學教學實踐與研究》(叢書)等多部，應邀主編、參編教材和教學著作30余部。

軌跡問題是平面解析幾何中非常重要的一類問題，它能綜合考查同學們數形結合、等價轉換、分類討論、邏輯推理等方面的數學思想方法和能力，歷來都是高考命題的熱點。求軌跡方程的方法比較多，但從宏觀上說不外乎兩個途徑:一是利用平面幾何知識或圓錐曲線的定義求軌跡方程，這類題目對計算的要求不高，主要考查觀察、聯想的能力;二是利用代數的方法通過消參數得出軌跡方程，解決問題的關鍵是對式子的變形。

一、直接法求軌跡方程

若動點滿足題設中明顯的已知等量關系或易借助平面幾何中的有關定理和性質(勾股定理、垂徑定理、中線定理、連心線的性質等)分析出等量關系，則只需把這種易于表達的關系“翻譯”成含x，y的關系式，就能得到曲線的軌跡方程。

【典例1】設直線l與拋物線Ω:y2=4x相交于不同兩點A，B。O為坐標原點。

(1)求拋物線Ω的焦點到準線的距離;

(2)若直線l又與圓C:(x-5)2+y2=16相切于點M，且M為線段AB的中點，求直線l的方程;

解析：(1)由拋物線定義得，拋物線Ω的焦點到準線的距離為2。

(2)設直線l:x=my+b。

當m=0時，x=1和x=9符合題意。

當m≠0時，設A(x1，y1)，B(x2，y2)。

Δ=16(m2+b)＞0，y1+y2=4m，所以x1+x2=my1+b+my2+b=4m2+2b。

所以線段AB的中點M(2m2+b，2m)。

所以Δ=16(m2+b)=16(3-m2)＞0，得0＜m2＜3。

綜上所述，直線l的方程為:x=1，x=9。

(3)由(2)可知Δ=16(m2+b)＞0，y1+y2=4m，y1y2=-4b。

當b=0時，直線AB過原點，所以Q(0，0)，不符合題意。

綜上，點Q的軌跡方程為x2-4x+y2=0(x≠0)。

點評：本題第(3)問中，由OQ⊥AB，且A，B，P，Q四點共線，可得OQ⊥PQ，進而可得=0，將此條件進行翻譯，即可得點Q的軌跡方程。

【典例2】在平面直角坐標系xOy中，已知A(-12，0)，B(0，6)，點P在圓O:x2+y2=50上，若 ≤20，則點P的橫坐標的取值范圍是____。

解析：(方法一)根據題意，設P(x0，y0)，則有+=50。

故2x0-y0+5≤0，易知點P的軌跡為圓O在直線2x-y+5=0上方的部分(包括交點)。

圖1

圖2

點評：本題考查了軌跡方程的求法，其中方法一直接設出動點P的坐標，并對“點P在 圓O：x2+y2=50 上 ，≤20”進行翻譯，思路較為簡單；而方法二是對“若A，B為兩定點，且=0，則點P的軌跡是以AB為直徑的圓”這一結論的應用，要求考生有一定程度的積累。但本題的重點不是求方程，而是利用方程去分析曲線的性質，這是命題的一種新趨勢，突出了解析幾何的核心思想——通過探究曲線的幾何特征建立方程，再通過方程性質研究曲線的幾何性質，同學們應給予重視。

二、定義法求軌跡方程

若動點的軌跡符合某種曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線)的定義，則可根據定義直接設出所求方程，通過待定系數法求解。

【典例3】如圖3，已知圓(x-2)2+y2=9的圓心為C。直線l過點M(-2，0)且與x軸不重合，l交圓C于A，B兩點，點A在點M，B之間。過M作直線AC的平行線交直線BC于點P，則點P的軌跡方程是____。

圖3

解析：如圖3所示，因為AC，BC都是圓C的半徑，所以|AC|=|BC|，又AC//PM，所以∠PBM=∠BAC=∠BMP，所以|PM|=|PB|。

由于|PM|-|PC|=|PB|-|PC|=|BC|=3＜|MC|，所以點P為以M(-2，0)，C(2，0)為焦點的雙曲線的右支(除頂點外)。故點P的軌跡方程為＞0)。

點評：熟悉一些基本曲線的定義是用定義法求曲線方程的關鍵，求解過程中需注意定點的軌跡是曲線還是曲線的一部分，在寫軌跡方程時一定要除去不符合條件的點。

【拓展延伸】圓及圓錐曲線的第二定義在解題中往往也有意想不到的作用，現歸納如下:

(1)圓:到兩定點距離之比等于λ(λ＞0，且λ≠1)的動點的軌跡是以點圓心，長為半徑的圓;

(2)橢圓:平面上到定點的距離與到定直線間距離之比為常數e(0＜e＜1)的點的集合(定點不在定直線上);

(3)雙曲線:平面上到定點的距離與到定直線間距離之比為常數e(e＞1)的點的集合(定點不在定直線上)。

其中運用第二定義得到的點的軌跡也叫“阿波羅尼斯圓”，在高考中已熱考多年，有興趣的同學可以了解一下。

三、相關點法求軌跡方程

若動點滿足的條件不便直接轉化為代數關系，但動點P是隨著另一動點P'的運動而運動的，而P'的運動規律已知(該點坐標滿足某已知曲線方程)，則可以設出P(x，y)，用x，y表示出相關點P'的坐標并代入已知曲線方程，即可得到動點P的軌跡方程。

【典例4】如圖4所示，已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=6，在三角形所在的平面內有兩個動點M和N，滿足的取值范圍是( )。

圖4

解析：分別以AB，AC所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系，則A(0，0)，B(4，0)，C(0，6)。

設 N(x0，y0)，因為，即N是MC的中點，所以x=2x0，y=2y0-6。

代入方程x2+y2=4，得(2x0)2+(2y0-6)2=4，整理得+(y0-3)2=1，所以點N的軌跡方程為x2+(y-3)2=1，即點N的軌跡是以(0，3)為圓心，1為半徑的圓，易得的取值范圍是[4，6]。故選B。

點評：相關點法也可稱為代入法，其關鍵在于找到動點和其相關點坐標間的等量關系。如本題中，將翻譯為點N是線段MC的中點，利用中點坐標公式建立M，N兩點間的等量關系。

四、參數法求軌跡方程

有時動點滿足的幾何條件不易得出，也無明顯的相關點，但卻發現這個動點的運動常常受到另一個變量(斜率、截距、角度等)的制約，可嘗試分別建立動點橫、縱坐標與這個變量的函數關系，通過消參得到軌跡的普通方程。

【典例5】設M、N、T為橢圓上的三個點，M、N在直線x=8上的射影分別為 M1，N1。

(1)若直線MN過原點O，直線MT、NT的斜率分別為k1，k2，求證:k1k2為定值。

(2)若M、N不是橢圓長軸的端點，點L坐標為(3，0)，△M1N1L與△MNL的面積之比為5，求MN中點K的軌跡方程。

解析：(1)設 M(p，q)，N(-p，-q)，

故直線MN經過點F(2，0)，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，K(x0，y0)，

①當直線MN垂直于x軸時，弦MN的中點為F(2，0)。

②當直線MN與x軸不垂直時，設MN的方程為y=k(x-2)，則:(3+4k2)x2-16k2x+16k2-48=0。

綜上所述，點K的軌跡方程為(x-1)2+=1(x＞0)。

點評：在利用參數法求出軌跡方程后，應注意檢驗其是否符合題意，既要檢驗是否增解(即以該方程的某些解為坐標的點不在軌跡上)，又要檢驗是否丟解(即軌跡上的某些點未能用所求的方程表示)，其檢驗方法為研究運動中的特殊情形或極端情形。如本題第(2)問用直線MN的斜率k表示出x0，y0后，注意到k≠0，從而可得x0＞0，y0≠0。

對于軌跡方程問題，方法的選擇尤為重要，同學們一定要認真分析所給條件，選擇合適的方法求解，一般優先選用直接法、定義法。在求出曲線方程的方程之后，應仔細檢查有無“不法分子”摻雜其中，將其剔除。另一方面，又要注意有無“漏網之魚”仍逍遙法外，要將其“捉拿歸案”，以確保軌跡方程的純粹性及完備性。但是這里請讀者一定要注意，從現在的考試形式分析的話，此類問題的重點不在求方程上，而是要能利用所求方程去分析曲線的性質，本文的部分例題對此有所體現，望讀者能認真體會，有所感悟。