賞析熱點題 直擊定積分

■江蘇省沭陽高級中學 項敬磊

定積分是微積分學中的基本概念之一，學習時應了解定積分的實際背景和基本思想，了解微積分基本定理的基本含義。近幾年高考加強了對此方面題型的考查，下面以幾道典型試題為例進行剖析，以幫助同學們提升解決定積分問題的能力。

題型一 定積分的直接計算

例1計算的值。

解析：因為(ex+x2)'=ex+2x，所以

例2計算dx的值。

解 析：dx表示由y=，x=0，x=1及x軸所圍成的幾何圖形的面積。

點評：如果當被積函數的原函數不好找，那么可以根據定積分的幾何意義，畫出函數的圖像，再求其面積。

題型二 利用定積分求平面圖形面積

例3曲線y=與直線y=x-1及x=4所圍成的封閉圖形的面積為( )。

A.2ln2 B.2-ln2

C.4-ln2 D.4-2ln2

解析：如圖1所示，y=和y=x-1的交點為(2，1)。由定積分的知識可知，封閉圖形的面積為:

點評：利用定積分求平面圖形面積的一般步驟：(1)根據題意畫出圖形，并將圖形分割成若干曲邊梯形；(2)對每個曲邊梯形確定其存在的范圍，從而確定積分上限、下限；(3)確定被積函數，寫出相應的定積分表達式；(4)求出各曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對值之和。

幾種典型的曲邊梯形面積的計算方法:

(1)由三條直線x=a、x=b(a＜b)、x軸，和一條曲線y=f(x)(f(x)≥0)圍成的曲邊梯形的面積:

圖1

(2)由三條直線x=a、x=b(a＜b)、x軸，和一條曲線y=f(x)(f(x)≤0)圍成的曲邊梯形的面積:

(3)由兩條直線x=a、x=b(a＜b)，兩條曲線y=f(x)、y=g(x)(f(x)≥g(x))圍成的平面圖形的面積:

題型三 定積分在物理中的應用

1.變速直線運動的路程

例4一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度v(t)=7-3t的單位:s，v的單位:m/s)行駛至停止，在此期間汽車繼續行駛的距離(單位:m)是( )。

2.變力做功

例5一物體在變力F(x)=5-x2(F的單位:N，x的單位:m)的作用下，沿與力F成30°的方向做直線運動，則由x=1運動到x=2時力F(x)所做的功為( )。

解析：W=故選C。

點評：本題以物理知識為載體，考查定積分的幾何意義以及同學們用所學知識分析、解決問題的能力，關鍵是能夠在分析題目時分清運動過程中的變化情況，計算時找準積分上限、下限。

延伸：做變速直線運動的物體所經過的路程是位移的絕對值之和，從時刻t=a到時刻t=b所經過的路程和位移分別為s，s1。

(3)若v(t)≥0(t∈[a，c])，v(t)＜0(t∈[c，b])，則

題型四 定積分證明不等式

例6求證:lnn(n∈N*)。

證明：構造函數f(x)=。

點評：本題要證的結論是一個十分優美的不等式，而且此不等式在近年高考中以不同形式多次出現并要求同學們證明。例如，2014年高考陜西卷理科數學壓軸題、2015年高考廣東卷理科數學壓軸題，解題的核心都是上述不等式。仔細觀察原不等式不難發現左邊的和式中每一項都是函數f(x)=的函數值，而右側則是函數g(x)=lnx的函數值，所以可考慮將其看作原函數與導函數 ，這樣一來右側的原函數便可以看作對導函數的一個積分，再設法將左邊與面積相聯系，便得到上述解法。

題型五 定積分的交匯性

例7設y=f(x)為區間[0，1]上的連續函數，且恒有0≤f(x)≤1，可以用隨機模擬方法近似計算積分∫1f(x)dx，先產生兩組

0(每組N個)區間[0，1]上的均勻隨機數x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到 N 個點(xi，yi)(i=1，2，…，N)，再數出其中滿足yi≤f(xi)(i=1，2，…，N)的點數 N1，那么由隨機模擬方案可得積分f(x)dx的近似值為____。

解析：設f(x)dx=S1。x，y∈[0，1]，直線x=1，y=1，以及x軸、y軸構成邊長為1的正方形的面積為S，由幾何概型可知。又因為S=1，所以S1=f(x)dx=

點評：本題利用定積分考查了幾何概型，難度不大，但需要同學們對定積分有較深的認識，題目新穎。此類試題在高考題中多次考查，需引起同學們的重視。