函數背景下雙變量問題的解決策略之統一變量

■河南省洛陽市汝陽縣第一高級中學 張海濤

雙變量問題是近年高考數學導數部分壓軸題目的常客，在2010年天津、2011年遼寧、2013年湖南、2016年全國Ⅰ卷理科、2018年全國Ⅰ卷理科等高考數學試卷中均以壓軸級別出現，在函數與不等式、導數知識的交匯地帶，利用導數這個工具，可以充分考查函數及不等式知識，也可以全面深刻地考查高中數學函數思想，充分暴露同學們的探索能力，因此高考命題專家熱衷于在這個背景下命制壓軸題目。

揭開問題的層層面紗，我們發現解決問題的法寶是構造一元變量函數。下面我們就常見問題進行探究，希望通過本文能給同學們帶來幫助。

一、主變量構造統一變量

例1已知0≤m＜n，試比較en-m+ln(m+1)與1+ln(n+1)的大小，并給出證明過程。

分析：本題涉及兩個變量m，n，這里不妨把m當成常數，設定n為主變量x。

解：構造函數f(x)=ex-m+ln(m+1)-1-ln(x+1)，x∈[m，+∞)，m≥0。

f(x)min=f(m)=0。

因此，當0≤m＜n時，f(n)=en-m+ln(m+1)-1-ln(n+1)＞0。

所以en-m+ln (m+1)＞1+ln(n+1)＞0。

點評：當問題有兩個變量時，我們可以把一個變量看成常數，另一個變量看成自變量，使問題得以解決，我們稱這種方法為主變量思想。

二、值域寬度統一變量

例2已知函數f(x)=ax+x2-xlna(a＞0，a≠1)。

(1)求函數f(x)的單調區間;

(2)對?x1，x2∈[-1，1]，|f(x1)-f(x2)|≤e-1恒成立，求實數a的取值范圍。

分析：對于第二問，我們很容易發現問題實際上是求解給定區間上函數的最值的差問題，進而通過求解最值，構造最值的差函數，利用導數求解a的范圍即可。

解：(1)函數f(x)的定義域為R，f'(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna。

令h(x)=f'(x)=2x+(ax-1)lna，則h'(x)=2+axln2a。

當a＞0，a≠1時，h'(x)＞0，所以h(x)在R上是增函數。

又h(0)=f'(0)=0，所以f'(x)＞0的解集為(0，+∞)，f'(x)＜0的解集為(-∞，0)。

故函數f(x)的單調增區間為(0，+∞)，單調減區間為(-∞，0)。

(2)問題等價于f(x)在[-1，1]的最大值與最小值之差小于等于e-1。……