談談2013年高考遼寧卷理科數學第21題的解法

2013年高考遼寧卷理科數學第21題是一道難度很大的導數題目，我們可以根據“先充分后必要”的思路給出其自然解法。推而廣之，本文采用這種方法還給出了幾道類似題目的解法。

題1(2013年高考遼寧卷理科數學第21題)已知函數f(x)=(1+x)e-2x，g(x)=。當x∈[0，1]時:

(2)若f(x)≥g(x)恒成立，求實數a的取值范圍。

解：(1)可得1-x≤f(x)?(1+x)e-x-(1-x)ex≥0，接下來，用導數可證得1-x≤f(x)。

(2)由(1)的結論1-x≤f(x)(0≤x≤1)可知，當g(x)≤1-x(0≤x≤1)即g(x)≤1-x(0＜x≤1)也即x-1≥a(0＜x≤1)恒成立時，題設f(x)≥g(x)恒成立。

u'(x)=2sinx-x(0≤x≤1);

得u'(x)是增函數，u'(x)≥u'(0)=0(0≤x≤1)，u(x)也是增函數，所以u(x)≥u(0)=--2cosx-1=-3(0≤x≤1)。

由此可知，當a＞-3時，?x0∈[0，1]，使得g(x0)＞。再由(1)的結論f(x)(0≤x≤1)可知，當a＞-3時，?x0∈[0，1]，使得g(x0)＞f(x0)，即當a＞-3時，不滿足題設。

綜上所述，可得所求答案是(-∞，-3]。

點評：題1的解法是“先充分后必要”，這種解法甚是巧妙!

下面再用這種解法，解答幾道求取值范圍的導數問題。

題2(1)當x＞0時，求證:x+1＜ex＜xex+1;

(2)若當x＞0時，ax+1＜ex，求實數a的取值范圍。

解：(1)(過程略)用導數可證。

(2)由(1)的結論x+1＜ex(x＞0)可得，當a≤1時ax+1＜ex(x＞0)。

當a＞1時，lna＞0，所以?x0∈(0，lna)，使得ex0＜elna=a，x0ex0+1＜ax0+1。再由(1)的結論ex＜xex+1(x＞0)可得，ex0＜ax0+1，說明此時不滿足題設。

綜上所述，可得所求答案是(-∞，1]。

題3(1)當x≥0時，求證:x2≤exx-1≤x2ex;

(2)(2010年高考全國新課標卷理科數學21(2))若當x＞0時，ex-1-x-ax2≥0，求a的取值范圍。

解：(1)(過程略)用導數可證。

題4已知函數f(x)=(1-x)e2x，g(x)=x2-ax-2xsinx+1。當x∈[-1，0]時:

(2)若f(x)≥g(x)恒成立，求實數a的取值范圍。

解：(1)可得1+x≤f(x)?(1+x)e-x-(1-x)ex≤0，接下來，用導數可證得1+x≤f(x)。

(2)由(1)的結論1+x≤f(x)(-1≤x≤0)可知，當g(x)≤1+x(-1≤x≤0)即g(x)≤1+x(-1≤x＜0)也即x-2sinx-1≥a(-1≤x＜0)恒成立時，題設f(x)≥g(x)恒成立。

設u(x)=x-2sinx-1(-1≤x≤0)，可得:

u'(x)=1-2cos(-x)≤1-2cos1＜1-2cos=0(-1≤x≤0)。

得u(x)是減函數，u(x)≥u(0)=-1(-1≤x≤0)。

因而，x-2sinx-1≥a(-1≤x＜0)恒成立即a≤-1。說明當a≤-1時，滿足題設。

由此可知，當a＞-1時，?x0∈[-1，0]，使得g(x0)＞。再由(1)的結論f(x)≤(-1≤x≤0)可知，當a＞-1時，?x0∈[-1，0]，使得g(x0)＞f(x0)，即當a＞-1時，不滿足題設。

綜上所述，可得所求答案是(-∞，-1]。

題5(2013年高考遼寧卷文科第21題)(1)證明:當x∈[0，1]時x≤sinx≤x;

(2)若不等式ax+x2++2(x+2)·cosx≤4對x∈[0，1]恒成立，求實數a的取值范圍。

解：(1)(過程略)用導數易證。

所以可得當a≤-2時滿足題設。

當x∈(0，1]時，由(1)的結論可得sinx＜x，可得cosx=1-2sin2。所以當a＞-2時，可得:

綜上所述，可得所求答案是(-∞，-2]。