利用一個結論解決零點和的取值范圍問題

■河南省濮陽市第一高級中學 張亦馳

在求解函數兩個零點和的取值范圍問題時，通常需要轉化為極值點偏移問題，通過構造函數，再借助函數的單調性，從而得到函數零點和的取值范圍，這種方法雖然可以解決此類問題，但是尋找極值點，構造函數都會讓同學們感到困難。下面介紹一個重要結論，它不但容易理解，而且可以快速解決零點和的取值范圍問題。

結論若x1＞0，x2＞0，當x1≠x2時，則有

證明：要比較的大小，只需要比較大小，即比較

當t∈(0，1)時，此時x1＜x2，φ(t)＜φ(1)=0。

當t∈(1，+∞)時，此時x1＞x2，φ(t)＞φ(1)=0。

綜上所述，當x1≠x2時，則有

例1(2010年天津卷理科第21題改編)已知函數f(x)=xe-x(x∈R)。

(1)求函數f(x)的單調區間和極值;

(2)如果x2≠x1，且f(x1)=f(x2)，證明:x1+x2＞2。

解析：(1)進行求導，可得f(x)在(-∞，1)上單調遞增，在(1，+∞)上單調遞減，f(1)=為極大值。

(2)如果x2≠x1，不妨設x1＜x2，由(1)知x1＜1，x2＞1。

設f(x1)=f(x2)=a，則有兩邊取對數得:

x1=lnx1-lna，x2=lnx2-lna。

兩式相減得x1-x2=lnx1-lnx2。

因此，x1+x2＞2。

例2(2013年湖南卷文科第21題)已知函數f(x)=

(1)求函數f(x)的單調區間;

(2)證明:當f(x1)=f(x2)，且x2≠x1時，x1+x2＜0。

解析：(1)進行求導，可得函數f(x)在區間(-∞，0)上單調遞增，在區間(0+∞)上單調遞減。

同理，當x＞1時，f(x)＜0。

當f(x1)=f(x2)，且x2≠x1時，不妨設x1＜x2。

由(1)可知，x1∈(-∞，0)，x2∈(0，1)。

以上兩式相減得:

假設x1+x2≥0，根據x1∈(-∞，0)，x2∈(0，1)，則有x1∈(-1，0)。

兩邊同除以1-x1-(1-x2)=x2-x1＞0，可得:

這與假設x1+x2≥0相矛盾，所以假設不成立。

綜上所述，x1+x2＜0。

例3(2016年全國Ⅰ卷理科第21題)已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點。

(1)求a的取值范圍;

(2)設x1，x2是函數f(x)的兩個零點，證明:x1+x2＜2。

解析：(1)過程略。

(2)由(1)知a＞0，0＜x1＜1＜x2＜2。

因為x1，x2是函數f(x)的兩個零點，所以f(x1)=f(x2)=0。

因此，(2-x1)ex1=a(x1-1)2，則有ln

(2-x1)+x1=lna+ln

(x1-1)2。

同理，(2-x2)ex2=a(x2-1)2，則有ln

(2-x2)+x2=lna+ln

(x2-1)2。上述兩式相減，并整理得ln(2-x1)-

兩邊同時除以(2-x1)-(2-x2)得:假設x2-1≥1-x1，則有x1+x2≥2。又因為0＜x1＜1＜x2＜2，所以

這與假設x2-1≥1-x1，即x1+x2≥2相矛盾，所以假設不成立。

綜上所述，x1+x2＜2。

總而言之，關于零點和的取值范圍問題，在近幾年的高考試題和模擬試題中出現的頻率較高，在平常解題時要多加留意，主動探究歸納，發現問題的本質，提煉出這類問題的解題規律，有了這些規律，做題時就可以化繁為簡，水到渠成，而且對于解題能力的提高往往能起到事半功倍的效果。