例談導數破解“切線”常考題型

■安徽省太和中學 任海濤

導數是研究函數性質、圖像以及證明不等式的有力工具，運用導數的幾何意義研究切線問題是高考的熱點題型，如何利用導數解決切線問題?下面以幾道試題為例進行剖析，希望能提升同學們解決問題的能力。

題型一 已知切點求切線方程

例1(2018年全國Ⅰ卷第5題)設函數f(x)=x3+(a-1)x2+ax，若函數f(x)為奇函數，則曲線y=f(x)在點(0，0)處的切線方程為( )。

A.y=-2x B.y=-x

C.y=2x D.y=x

解析：因為函數f(x)為奇函數，所以a-1=0，a=1。因此，f(x)=x3+x。

所以f'(x)=3x2+1。

則在點(0，0)處的切線的斜率為k=f'(0)=1，所求的切線方程為y-0=x-0，即y=x，故選D。

點評：此類題較為簡單，只需求出切點處的導數值即為切線的斜率，再代入點斜式方程即可。用導數求切線方程關鍵是求出切點(x0，y0)處的導數，代入點斜式方程，當導數在(x0，y0)處不存在時，切線方程為x=x0。

題型二 未知切點求切線方程

例2已知函數f(x)=x3-3x及y=f(x)上一點P(1，-2)，過點P作直線l，求使直線l和y=f(x)相切且切點異于點P的直線方程。

解析：設過P(1，-2)的直線l與y=f(x)切于一點Q(x0，y0)，則f'(x0)=3x20-3。

又直線過Q(x0，y0)，P(1，-2)，故直線斜率可表示為

點評：過某點的切線與在某點的切線是不同的，過某點(a，b)的切線方程的求法：首先明確該點是否為切點，如果是，直接求出導數值即可；如果不是，先設切點(x0，y0)，利用切點(x0，y0)的三個特征：切點在曲線上，即y0=f(x0)，切點在切線上，切點處導數值f'(x0)就是切線的斜率，建立方程求出切點。

題型三 兩曲線的公切線問題

例3已知函數(a為正實數)，試求函數f(x)與g(x)在其公共點處是否存在公切線。若存在，求出符合條件的a的個數;若不存在，請說明理由。

解析：設函數f(x)與g(x)在x=x1處存在公切線，則: