例談導數破解“切線”常考題型

■安徽省太和中學 任海濤

導數是研究函數性質、圖像以及證明不等式的有力工具，運用導數的幾何意義研究切線問題是高考的熱點題型，如何利用導數解決切線問題?下面以幾道試題為例進行剖析，希望能提升同學們解決問題的能力。

題型一 已知切點求切線方程

例1(2018年全國Ⅰ卷第5題)設函數f(x)=x3+(a-1)x2+ax，若函數f(x)為奇函數，則曲線y=f(x)在點(0，0)處的切線方程為( )。

A.y=-2x B.y=-x

C.y=2x D.y=x

解析：因為函數f(x)為奇函數，所以a-1=0，a=1。因此，f(x)=x3+x。

所以f'(x)=3x2+1。

則在點(0，0)處的切線的斜率為k=f'(0)=1，所求的切線方程為y-0=x-0，即y=x，故選D。

點評：此類題較為簡單，只需求出切點處的導數值即為切線的斜率，再代入點斜式方程即可。用導數求切線方程關鍵是求出切點(x0，y0)處的導數，代入點斜式方程，當導數在(x0，y0)處不存在時，切線方程為x=x0。

題型二 未知切點求切線方程

例2已知函數f(x)=x3-3x及y=f(x)上一點P(1，-2)，過點P作直線l，求使直線l和y=f(x)相切且切點異于點P的直線方程。

解析：設過P(1，-2)的直線l與y=f(x)切于一點Q(x0，y0)，則f'(x0)=3x20-3。

又直線過Q(x0，y0)，P(1，-2)，故直線斜率可表示為

點評：過某點的切線與在某點的切線是不同的，過某點(a，b)的切線方程的求法：首先明確該點是否為切點，如果是，直接求出導數值即可；如果不是，先設切點(x0，y0)，利用切點(x0，y0)的三個特征：切點在曲線上，即y0=f(x0)，切點在切線上，切點處導數值f'(x0)就是切線的斜率，建立方程求出切點。

題型三 兩曲線的公切線問題

例3已知函數(a為正實數)，試求函數f(x)與g(x)在其公共點處是否存在公切線。若存在，求出符合條件的a的個數;若不存在，請說明理由。

解析：設函數f(x)與g(x)在x=x1處存在公切線，則:

由(2)得(2x1-a)(x21+1)=0，即x1=，代入(1)得8lna-8ln2-a2+8=0。

記G(a)=8lna-8ln2-a2+8，則G'(a)=-2a。

因此，G(a)在(0，2)上是增函數，(2，+∞)上是減函數。

點評：求解函數f(x)與g(x)的公切線問題，關鍵是設出切點(x0，y0)，利用切點的特征：求出切點，再利用導數的幾何意義求出切線方程。

題型四 圓錐曲線的切線問題

例4(2013年山東高考題節選)橢圓(a＞b＞0)的左、右焦點分別是F、F，離心率為，過F且垂直于x軸的121直線被橢圓C截得的線段長為1。

點P是橢圓上除長軸端點外的任一點，過點P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點，設直線PF1，PF2的

斜率分別為k1，k2，若k≠0，試證明為定值，并求出這個定值。

解析：由題中條件解得橢圓方程為+y2=1。

直線l為橢圓在P點處的切線，不妨設

P(x0，y0)，y0＞0，則

點評：在解析幾何中處理切線問題常常受制于曲線的方程不是函數，這時需要將方程轉化為函數問題，再進行求導，這樣再利用導數的幾何意義處理切線問題就比較容易。同學們解題時要加強這方面的應用。

題型五 一曲線多切線問題

例5已知函數f(x)=ax3+bx，曲線f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y=2x-2，過點(2，2)能作幾條直線與曲線y=f(x)相切?

解析：因為曲線f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y=2x-2，所以f'(1)=2，f(1)=0。解得a=1，b=-1，f(x)=x3-x。設過點(2，2)的直線與曲線y=f(x)相切于點(t，f(t))，則切線方程為:

y-f(t)=f'(t)(x-t)，即y=(3t2-1)x-2t3。由切線過點(2，2)得:2=(3t2-1)·2-2t3。過點(2，2)可作曲線y=f(x)的切線條數就是方程t3-3t2+2=0的實根個數。

令g(t)=t3-3t2+2，則g'(t)=3t(t-2)。

由g'(t)=0，得t1=0，t2=2。

當t變化時，g(t)、g'(t)的變化如表1:

表1

由g(0)·g(2)=-4＜0知，g(t)=0有三個不同實根，故可作三條切線。

點評：本題主要考查導數的幾何意義、切線方程的表示法等，把過點(2，2)可作曲線的切線條數問題，轉化為方程t3-3t2+2=0根的個數問題，根據函數的單調性和極值，判斷方程根的個數，從而求得切線的條數。

練一練：

1.若存在過點(1，0)的直線與曲線y=x3和y=ax2+x-9都相切，則a等于____。

2.若直線y=kx+b是曲線y=lnx+1的切線，也是曲線y=ln(x+2)的切線，則實數b=____。

【答案】ln2

3.【2015年全國Ⅱ卷】已知曲線y=lnx+x在點(1，1)處的切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切，則a=____。

【答案】8