導數綜合題之謀略

■河南省平頂山市第一高級中學 劉海洋

■河南省平頂山市第一中學 張玲敏

眾所周知，導數的綜合應用題具有較高的難度，同學們“征服”它不僅要有勇氣，而且要有智慧。那么解答這類問題需要哪些謀略呢?下面舉例說明，供同學們參考。

一、利用分類討論思想探究函數性質問題

例1函數f(x)=x3+|x-a|(x∈R，a∈R)。

(1)若函數f(x)在R上為增函數，求a的取值范圍;

(2)若函數f(x)在R上不單調時，記f(x)在[-1，1]上的最大值、最小值分別為M(a)、m(a)，求M(a)-m(a)。

解析：由已知可得:

令h'(x)=0，得x=±1，所以h(x)在(-∞，-1)和(1，+∞)上是增函數，在(-1，1)上為減函數。

(1)分析可知，若要滿足f(x)在R上是增函數，則需要a≤-1。

故a的取值范圍為(-∞，-1]。

(2)因為函數f(x)在R上不單調，所以a＞-1。

當-1＜a＜1時，f(x)在(-∞，-1)上是增函數，在(-1，a)上是減函數，在[a，+∞)上是增函數。

【方法感悟】

1.解答這類題的模板:

2.解答這類題的難點:

(1)何時討論參數?由于題目條件的不同，有的在求零點時討論，有的在列表時討論。

(2)如何討論參數?需要根據題目的條件而定，有時還需參考自變量的取值范圍，討論的關鍵是做到不重不漏。

二、利用數形結合思想探究函數的零點問題

例2設函數f(x)=lnx+，m∈R。

(1)當m=e(e為自然對數的底數)時，求f(x)的極小值;

解析：(1)由題設知，當m=e時，f(x)=

當x∈(0，e)時，f'(x)＜0，f(x)在(0，e)上單調遞減。

當x∈(e，+∞)時，f'(x)＞0，f(x)在(e，+∞)上單調遞增。

因此，f(x)的極小值為2。

則φ'(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1)。

當x∈(0，1)時，φ'(x)＞0，φ(x)在(0，1)上單調遞增;

當x∈(1，+∞)時，φ'(x)＜0，φ(x)在(1，+∞)上單調遞減。

故x=1是φ(x)的唯一極值點，且是極大值點。

又φ(0)=0，結合y=φ(x)的圖像(如圖1)，可知:

圖1

④當m≤0時，函數g(x)有且只有一個零點。

【方法感悟】

利用導數探究函數零點的一般思路:

(1)轉化為可用導數研究其函數的圖像與x軸(或直線y=k)在該區間上的交點問題;

(2)利用導數研究該函數在該區間上的單調性、極值(最值)、端點值等性質，進而畫出其圖像;

(3)結合圖像求解。

三、利用函數思想探究證明不等式問題

例3已知函數f(x)=ex+m-x3，g(x)=ln(x+1)+2。(1)若曲線y=f(x)在點(0，f(0))處的切線斜率為1，求實數m的值;

(2)當m≥1時，證明:f(x)＞g(x)-x3。

解析：(1)因為f(x)=ex+m-x3，所以f'(x)=ex+m-3x2。

因為曲線y=f(x)在點(0，f(0))處的切線斜率為1，所以f'(0)=em=1。

解得m=0。

(2)因為f(x)=ex+m-x3，g(x)=ln(x+1)+2，所以f(x)＞g(x)-x3等價于ex+m-ln

(x+1)-2＞0。

當m≥1時，ex+m-ln(x+1)-2≥ex+1-ln

(x+1)-2。

因此，要證ex+m-ln(x+1)-2＞0，只需證明ex+1-ln(x+1)-2＞0。

設h(x)=ex+1-ln(x+1)-2，則

設p(x)=ex+1-(x＞ -1)，則

所以函數p(x)=h'(x)=ex+1-(-1，+∞)上單調遞增。

因為h'(x0)=0，所以ex0+1=ln (x0+1)=-(x0+1)。

當x∈(-1，x0)時，h'(x)＜0;當x∈(x0，+∞)時，h'(x)＞0。

所以當x=x0時，h(x)取得最小值h(x0)。

因此，h(x)≥h(x0)=ex0+1-ln(x0+1)

綜上可知，當m≥1時，f(x)＞g(x)-x3。

【方法感悟】

1.利用導數證明不等式的基本步驟:(1)作差或變形;(2)構造新的函數h(x);(3)利用導數研究h(x)的單調性及最值;(4)根據單調性及最值，得到所證不等式。

2.構造輔助函數的四種方法

(1)移項法:證明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))的問題轉化為證明f(x)-g(x)＞0(f(x)-g(x)＜0)，進而構造輔助函數h(x)=f(x)-g(x)。

(2)構造“形似”函數:對原不等式同解變形，如移項、通分、取對數;把不等式轉化為左右兩邊是相同結構的式子的結構，根據“相同結構”構造輔助函數。

(3)主元法:對于(或可化為)f(x1，x2)≥A的不等式，可選x1(或x2)為主元，構造函數f(x，x2)(或f(x，x1))。

(4)放縮法:若所構造函數最值不易求解，可將所證明不等式進行放縮，再重新構造函數。

四、利用轉化與化歸思想探究不等式恒成立問題

例4已知函數f(x)=lnx。

(1)求函數g(x)=f(x+1)-x的最大值;

(2)若對任意x＞0，不等式f(x)≤ax≤x2+1恒成立，求實數a的取值范圍。

解析：(1)因為f(x)=lnx，所以g(x)=f(x+1)-x=ln(x+1)-x(x＞-1)。

當x∈(-1，0)時，g'(x)＞0，g(x)在(-1，0)上單調遞增;

當x∈(0，+∞)時，g'(x)＜0，g(x)在(0，+∞)上單調遞減。

故g(x)在x=0處取得最大值g(0)=0。

(2)因為對任意x＞0，不等式f(x)≤ax≤x2+1恒成立，所以:在x＞0上恒成立，進一步轉

當x∈(1，e)時，h'(x)＞0;當x∈(e，+∞)時，h'(x)＜0。

【方法感悟】

利用轉化與化歸思想解決不等式恒成立問題的“兩種”常用方法:

(1)分離參數法:

(2)函數思想法: