定積分知識(shí)導(dǎo)學(xué)

■江蘇省太倉(cāng)高級(jí)中學(xué) 徐彩娥

定積分既是一個(gè)基本概念，又是一種基本思想。定積分的思想即“化整為零→近似代替→積零為整→取極限”。定積分這種“和的極限”的思想，在高等數(shù)學(xué)、物理、工程技術(shù)和其他的知識(shí)領(lǐng)域以及在人們生產(chǎn)實(shí)踐活動(dòng)中具有重要的意義，很多問(wèn)題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與定積分中求“和的極限”的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是一樣的。教材通過(guò)對(duì)曲邊梯形的面積、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程等實(shí)際問(wèn)題的研究，運(yùn)用極限方法，經(jīng)歷分割整體、局部線性化、以直代曲、化無(wú)限為有限、變連續(xù)為離散等過(guò)程，使定積分的概念逐步發(fā)展建立起來(lái)。可以說(shuō)，定積分最重要的功能是為我們研究某些問(wèn)題提供一種思想方法(或思維模式)，即用有限的過(guò)程處理無(wú)限的問(wèn)題，用離散逼近連續(xù)，以直代曲，局部線性化等。定積分的概念及微積分基本定理，不僅是數(shù)學(xué)史上，而且是科學(xué)思想史上的重要里程碑。定積分思想，是人類智慧的寶貴結(jié)晶，已成為人類文明中的財(cái)富。

讓我們一起來(lái)學(xué)習(xí)定積分吧!

一、要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)

1.相關(guān)術(shù)語(yǔ)

它表示函數(shù)f(x)與x軸，x=a，x=b圍成的面積(x軸上方為正，x軸下方為負(fù))和，所以只有當(dāng)f(x)圖像在區(qū)間[a，b]內(nèi)完全位于x軸上方時(shí)，f(x)dx才表示面積。|f(x)|dx可表示函數(shù)f(x)與x軸，x=a，x=b圍成的面積的總和，但是在求定積分時(shí)，需要拆掉絕對(duì)值，分段求解。

3.定積分的求法

(1)微積分基本定理:如果f(x)是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，并且F'(x)=f(x)，那

說(shuō)明:使用微積分基本定理，關(guān)鍵是能夠找到以f(x)為導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)F(x)。

所以常見(jiàn)的初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)公式要熟記于心:

若f(x)=c，則f'(x)=0;

若f(x)=xα，則f'(x)=αxα-1;

若f(x)=sinx，則f'(x)=cos

x;

若f(x)=cosx，則f'(x)=-sin

x;

若f(x)=ax，則f'(x)=axlna;

若f(x)=ex，則f'(x)=ex;

若f(x)=logax ，則f'(x)=

①尋找原函數(shù)通常可以“先猜再調(diào)”，先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的形式猜出原函數(shù)的類型，再調(diào)整系數(shù)。例如導(dǎo)函數(shù)為f(x)=x3，則判斷屬于冪函數(shù)類型，其原函數(shù)應(yīng)含x4，但(x4)'=4x3，而f(x)=x3，所以原函數(shù)應(yīng)為F(x)=x4+c(c為常數(shù))。

②如果只是求原函數(shù)，則要在表達(dá)式后面加上常數(shù)c，例如導(dǎo)函數(shù)為f(x)=2x，則原函數(shù)為F(x)=x2+c，但在使用微積分基本定理時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)計(jì)算F(b)-F(a)時(shí)會(huì)消去c，所以求定積分時(shí)，F(xiàn)(x)不需加上常數(shù)。

(2)利用定積分的幾何含義:若被積函數(shù)找不到原函數(shù)，但定積分所對(duì)應(yīng)的曲邊梯形面積易于求解，則可通過(guò)求曲邊梯形的面積求定積分。但要注意曲邊梯形若位于x軸的下方，則面積與所求定積分互為相反數(shù)。

4.定積分的運(yùn)算性質(zhì)

作用:求定積分時(shí)可將f(x)的系數(shù)放在定積分外面，不參與定積分的求解，從而降低f(x)的復(fù)雜程度。

作用:可將被積函數(shù)拆成幾個(gè)初等函數(shù)的和，從而便于尋找原函數(shù)并求出定積分，例如

作用:當(dāng)被積函數(shù)含絕對(duì)值，或者是分段函數(shù)時(shí)，可利用此公式將所求定積分按區(qū)間進(jìn)行拆分，分別求解。

5.利用定積分求曲邊梯形面積的步驟

(1)通過(guò)作圖確定所求面積的區(qū)域;

(2)確定圍成區(qū)域中上，下曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)f(x)，g(x);

(3)若x∈[a，b]時(shí)，始終有f(x)≥g(x)，則面積為

二、題型攻略

題型1 利用微積分基本定理求定積分

點(diǎn)評(píng)：一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是唯一的，而其原函數(shù)則有無(wú)窮多個(gè)，這些原函數(shù)之間都相差一個(gè)常數(shù)，在利用微積分基本定理求定積分時(shí)，只需找到被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)即可，并且一般使用不含常數(shù)的原函數(shù)，這樣有利于計(jì)算。當(dāng)被積函數(shù)無(wú)法直接找到原函數(shù)時(shí)，往往可以進(jìn)行化簡(jiǎn)。

題型2 利用幾何意義求定積分

例2已知函數(shù)f(x)=(x)dx=( )。

解 析：-2。

點(diǎn)評(píng)：(1)若被積函數(shù)在不同區(qū)間解析式不同時(shí)，則要考慮將定積分按不同區(qū)間進(jìn)行拆分；

跟蹤訓(xùn)練2(|x|+sinx)dx=____。

解析：。根據(jù)定積分的幾何意義可知，函數(shù)y=|x|在[-1，1]上的圖像與x軸，直線x=-1，x=1圍成的曲邊圖形的面積為1。y=sinx為奇函數(shù)，根據(jù)定積分的幾何意義知sinxdx=0。

題型3 已知定積分求參數(shù)的值

例3已知曲線y=x3與直線y=kx(k＞0)在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為4，則k=。

圖1

解析：聯(lián)立方程可得解得x=0或x=。先根據(jù)題意畫出圖形，如圖1所示，直線y=kx與曲線y=x3所圍成圖形的面積S=解得k=4，故答案為4。

點(diǎn)評(píng)：本題考查了曲線圍成圖形的面積，著重考查了定積分的幾何意義和定積分計(jì)算公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題。用定積分求平面圖形的面積的步驟：(1)根據(jù)已知條件，畫出平面圖形的草圖；(2)根據(jù)圖形特點(diǎn)，恰當(dāng)選取計(jì)算公式；(3)解方程組求出每?jī)蓷l曲線的交點(diǎn)，以確定積分的上限、下限；(4)具體計(jì)算定積分，求出圖形的面積。

跟蹤訓(xùn)練3若18，則a=____。

解 析：+sinx）dx==18，解得a=3。

題型4 利用定積分求曲邊圖形的面積

例4已知函數(shù)f(x)=ex-1，直線l1:x=1，l2:y=et-1(t為常數(shù)，且0≤t≤1)，直線l1，l2，y軸與函數(shù)f(x)的圖像圍成的封閉圖形如圖2中陰影所示，當(dāng)t變化時(shí)，陰影部分面積的最小值為_(kāi)___。

圖2

解析：f(x)與直線l2的交點(diǎn)為:f(x)=et-1?ex-1=et-1，解得x=t。

設(shè)S(t)=2tet-3et+e+1，則S'(t)=2tet-et=et(2t-1)。

min（-1）2。

點(diǎn)評(píng)：(1)本題是一道定積分與導(dǎo)數(shù)綜合的題目，處理時(shí)要理解定積分和導(dǎo)數(shù)所起到的作用：定積分用于處理面積，而需要求函數(shù)最值時(shí)，可用導(dǎo)數(shù)解出單調(diào)性，從而求出最值。了解每個(gè)工具的作用才能在需要時(shí)選擇正確的方法。

(2)對(duì)于含參數(shù)的定積分，首先要確定被積函數(shù)的自變量(可觀察“d”后面的字母)，然后將參數(shù)視為一個(gè)常量參與運(yùn)算即可，所得的結(jié)果通常是含參數(shù)的表達(dá)式。

跟蹤訓(xùn)練4直線l過(guò)拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)且與y軸垂直，則直線l與拋物線C所圍成的圖形的面積等于____。

解析：拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)為(0，1)，故直線l的方程為y=1。

當(dāng)y=1時(shí)，x=±2。