一道作圖題的命制及反思

南京師范大學附屬中學新城初級中學 (郵編：210017)

筆者有幸參與了南京市建鄴區(qū)一模試卷的命制工作，其中解答題第22題作圖題給筆者留下深刻印象，以下是筆者的一些思考，以期對讀者有所啟發(fā)．

1 試題呈現(xiàn)

圖1

題目如圖，已知點P為∠AOB內(nèi)一點，利用直尺和圓規(guī)確定一條過點P的直線，分別交AO、BO于點E、F，使得OE=OF．(不寫作法，保留作圖痕跡)

2 命題過程

2.1 初步方案

在初中數(shù)學中，尺規(guī)作圖被分為兩類：一類是“基本作圖”：作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作一個角的平分線；作一條線段的垂直平分線；過一點作已知直線的垂線．還有一類是“利用基本作圖的作圖”：已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形；已知一直角邊和斜邊作直角三角形．過不在同一直線上的三點作圓；作三角形的外接圓、內(nèi)切圓；作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形．它們都是初中生必須掌握的基本技能．

由于尺規(guī)作圖的嚴格規(guī)定，使其具備了極高的思維價值．南京市最近幾年在初中畢業(yè)生學業(yè)考試中均出現(xiàn)一道內(nèi)涵豐富的尺規(guī)作圖題，它既是對學生的動手能力進行考查，又是對幾何基礎知識、基本圖形的綜合考查．一模試卷具有中考試卷仿真性的特點，整卷中需要一道思維含量高的作圖題．根據(jù)命題雙向細目表的要求，試題的知識點以等腰三角形為載體，難度系數(shù)為0.5-0.6，切入點廣，便于不同認知風格學生解決問題．

2.2 形成初稿

計劃擬定后，翻閱有關資料，有一道練習題吸引了筆者的注意．

圖2

如圖2， 點P是∠AOB的平分線上的一點，請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形．

圖3

圖4

圖5

此題有兩種解法．如圖3，過點P分別作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，根據(jù)“AAS”或“HL”可得△POM和△PON全等；如圖4，過點P作EF⊥OP交OA、OB于點E、F，根據(jù)“ASA”可得△POE和△POF全等．圖4中的△EOF就是等腰三角形，從命題的知識點角度符合要求，但難度偏低，區(qū)分度不高．于是，命題組改變素材條件，把“點P是∠AOB的平分線上的一點”改為“點P為∠AOB內(nèi)一點”，從特殊到一般，弱化條件后的命題難度有所提升．但在答案的制定上，受思維慣性影響，利用化歸思想，在角平分線OC上找一個點M，使得過M點垂直于OC的直線過點P即可．本題答案如圖5，作∠O平分線OC；過點P作OC的垂線PM交OA于E，交OB于F，則EF為求作的圖形．

2.3 完善解答

圖6

本題的作法不唯一，比較開放，評分標準有必要給出有可能出現(xiàn)的答案，方便教師閱卷和評分，有效減少評分的誤差，提高試題的信度．作圖題常見思路，就是把分析法與綜合法相互結合，關注基本軌跡，即同時滿足兩個軌跡的點，就是同時滿足兩個條件的點．筆者作出符合條件要求的圖6，觀察圖形，分析結果，剖析本題的條件，如圖7所示．

圖7

若滿足條件2：OE=OF，但直線EF不過點P，本質(zhì)就是做一個以O為頂點的等腰三角形，再作一條平行于底的直線就是滿足條件的圖形．作已知直線的平行線，在初中階段可以通過角的數(shù)量關系，或平行四邊形的性質(zhì)作出．于是，答案會出現(xiàn)下列幾種作法．

圖8

如圖8，作OM=ON；連接OP交MN于Q；作∠OPE=∠OQM；作直線EP交OB于點F，則EF為求作的直線．

圖9

如圖9，作OM=ON；連接PN；作PN的中點C；連接MC并延長至點Q，使得CQ=CM；作直線PQ分別交AO、BO于點E、F，則EF為求作的直線．

圖10

如圖10，作OM=ON；連接PM；以P為圓心，MN為半徑作弧，以N為圓心，MP為半徑作弧，兩弧交于點Q；作直線PQ分別交AO、BO于點E、F，則EF為求作的直線．

圖11

圖12

上述三種作法是先保證兩線段相等的基礎上，再保證直線過點P，即通過作平行線的方式獲得，圖6中兩個條件是并列關系，故我們也可以先保證直線過點P，再保證兩線段相等．如圖11，過點P作PM∥OB，交OA于點M；以M為圓心，MP為半徑作弧交OA于點E；作直線EP交OB于點F，則EF為求作的直線．

圖13

線段OE=OF等價于∠OEF=∠OFE，由圖5分析可以得到已知∠O是等腰三角形的頂角，∠OEF，∠OFE均為該等腰三角形的底角，由等腰三角形的知識，∠OFE可以用∠O表示為兩種形式．

圖14

圖15

如圖13，作∠EPO=∠QOM，由同位角相等，兩直線平行，得到EP∥QO．

如圖14，在OQ上任作點Q，連接PQ，并作出中點G，連接OG并延長至點M，使得MG=OG；作直線MP分別交AO、BO于點E、F，由對角線互相平分的四邊形是平行四邊形得到MP∥QO．如圖15，由兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形得到MP∥QO．

圖16

從特殊線段角度，筆者也得到了一種作法：如圖16，過點P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為M、N；延長NP至點Q；作∠QPM的角平分線PE；直線PE交OB于點F，則EF為求作的直線．

3 反思

尺規(guī)作圖是研究幾何問題不可缺少的環(huán)節(jié)和方法，可以訓練學生嚴密的邏輯思維能力，培養(yǎng)學生的嚴謹?shù)墓ぷ鲬B(tài)度．本題入口寬，方法多樣，但最后全區(qū)的得分率卻低于0.4，究其原因，其一教材在編寫時把尺規(guī)作圖的內(nèi)容分散到各個章節(jié)中，沒有單獨地整理，學生缺乏系統(tǒng)性．二是部分教師理念陳舊，操作程序多是“直接告訴”，不講尺規(guī)作圖的意義，忽視說理和證明，導致學生對尺規(guī)作圖的理解不夠，不利于學生的發(fā)展．

尺規(guī)作圖可以作為把外部操作活動轉化為內(nèi)部思維活動的問題載體．課標提供了五個基本作圖，一般的作圖問題就是轉化為若干個基本作圖來實現(xiàn)，所以要關注基本作圖，提高作圖技能訓練，學生不僅要知道作圖的步驟，而且要能知道實施這些步驟的理由，充分讓學生動手實踐、自主探索與合作交流，思維暴露的過程，在討論中不斷思考，多角度對問題進行強化，循序漸進，由淺入深，由單一到綜合，滲透圖形變換的思想．方法從多樣化向優(yōu)化延伸，完善知識結構，豐富解題經(jīng)驗，加深對數(shù)學本質(zhì)屬性的理解．對于復雜作圖，要厘清尺規(guī)作圖的一般方法：在理解題目的基礎上畫出草圖，把綜合法與分析法結合，分析作出的圖形滿足條件必須符合相應的特征，再進一步思考滿足這種特征的圖形通過怎樣的基本作圖獲得．