關(guān)于Milosevic不等式的加強(qiáng)

山東威海職業(yè)學(xué)院藝術(shù)設(shè)計(jì)系 (郵編：264210 )

設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c，外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為R、r，半周長(zhǎng)為s，面積為△，∑表示循環(huán)求和.

文[1]介紹了由D.M.Milosevic提出的如下一個(gè)不等式

①

這是一個(gè)形式簡(jiǎn)潔，優(yōu)美的不等式.

由三角形中常見的不等式

我們自然考慮①的如下加強(qiáng)

②

實(shí)際上，我們可以證明較②更強(qiáng)的結(jié)果

定理1 在△ABC中，有

③

其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)三角形△ABC為正三角形時(shí)取得.

證明由積化和差公式，可得

④

⑤

由三角形中熟知的恒等式

⑥

⑦

⑧

將⑥、⑦和⑧代入④和⑤, 整理可得

⑨

由⑨及Gerretsen不等式

s2≤4R2+4Rr+3r2,

即得③，從而定理1成立.

推論在△ABC中,

由歐拉不等式R≥2r,可知推論比②強(qiáng).

注本文受威海職業(yè)學(xué)院科研項(xiàng)目基金資助，編號(hào)2016ky001.