Neuberg-Podoe不等式的優(yōu)美證明與類似

浙江省湖州市雙林中學(xué) (郵編：313012)

1891年，J.Neuberg提出了以下著名不等式：設(shè)a、b、c與a′、b′、c′分別是兩個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)、△、△′分別代表它們的面積，猜測(cè)成立：

a2(b′2+c′2-a′2)+b2(c′2+a′2-b′2)+c2(a′2+b′2-c′2)≥16△△′

①

1943年，D.Podoe第一個(gè)給出了這個(gè)猜想的證明，故而稱作Neuberg-Podoe不等式.

本文旨在探索Neuberg-Podoe不等式的優(yōu)美證明，因勢(shì)利導(dǎo)收獲她的兩個(gè)“類似”. 欣喜之余，與大家分享.

1 Neuberg-Podoe不等式的優(yōu)美證明

證明記這兩個(gè)三角形為△ABC與△A′B′C′,其中a、b、c與a′、b′、c′分別為內(nèi)角A、B、C與A′、B′、C′的對(duì)邊長(zhǎng)，則①式等價(jià)于：

?(cotB+cotC)cotA′+(cotC+cotA)cotB′+(cotA+cotB)cotC′≥2

②

?(cotA+cotB+cotC)(cotA′+cotB′+cotC′)≥2+cotAcotA′+cotBcotB′+cotCcotC′

③

≥cotAcotA′+cotBcotB′+cotCcotC′+2.

這就證明了③式成立，從而Neuberg-Podoe不等式①獲證(當(dāng)且僅當(dāng)cotA∶cotA′=cotB∶cotB′=cotC∶cotC′=1∶1，即△ABC與△A′B′C′相似時(shí)取“=”號(hào)).

基于以上Neuberg-Podoe不等式的優(yōu)美證明，姑且將等價(jià)不等式②與①聯(lián)袂成：

定理1 設(shè)△ABC與△A′B′C′的內(nèi)角A、B、C與A′、B′、C′的對(duì)邊長(zhǎng)分別是a、b、c與a′、b′、c′，△與△′分別是它們的面積(以下意義相同)，則有

(cotB+cotC)cotA′+(cotC+cotA)cotB′+(cotA+cotB)cotC′≥2

②

?a2(b′2+c′2-a′2)+b2(c′2+a′2-b′2)+c2(a′2+b′2-c′2)≥16△△′

①

2 Neuberg-Podoe不等式的類似

進(jìn)而，把三角形恒等式：

定理2 在△ABC與△A′B′C′中，s′為△A′B′C′的半周長(zhǎng)，則有

④

?a2(s′-b′)(s′-c′)+b2(s′-c′)(s′-a′)+c2(s′-a′)(s′-b′)≥4△△′

⑤

類似地，還有：

定理3 在△ABC與△A′B′C′中，s與s′為它們的半周長(zhǎng)，則有

?a(s-a)(s′-b′)(s′-c′)+b(s-b)(s′-c′)(s′-a′)+c(s-c)(s′-a′)(s′-b′)≥2△△′

⑥

定理2與定理3中的⑤式與⑥式就是Neuberg-Podoe不等式的兩個(gè)類似.