設計“驚異型”課堂提問 彰顯數學神奇魅力

浙江衢州市教育局教研室 (郵編：324002)

浙江省衢州一中 李 盛 (郵編：324000)

理想的數學學習，是讓學生忘記自己在學習，進入一種忘我的投入狀態中，在無意識或潛意識中記憶、領會或“再創造”大量的數學知識.這樣就要求我們在課堂教學中，要讓數學知識和數學的思想方法，“進入學生骨子，流入學生心田”，讓學生全身心投入數學學習之中，這樣才能達到學習的高境界，并一輩子都難忘記.

提出具有震撼力的令人驚異型的數學問題，適當地對數學問題進行夸大，設置懸念，是吸引學生課堂注意力，讓學生盡快進入理想數學學習的一條重要途徑.通過驚異型數學問題的教學，可以化神奇為平凡，化復雜為簡單，化抽象為直觀，加深學生對數學的理解，讓學生充分體會到數學的美妙,激發學生的創造性思維火花，提升數學核心素養.

1 驚異型數學問題的概念

查閱百度在線詞典，驚異的意思是：感到意外，奇怪;驚奇詫異.令人驚異的數學問題,就是先將疑問懸在那兒，讓學生念念不忘，存有種種猜想，在蓄積了一段時間后，再解開“懸念”，給出結果.目的是通過設置懸念，在問題的某一部分設置一個疑問或矛盾沖突，以造成學生某種急切期待和熱烈關心的心理，吸引學生的注意力.

驚異型數學問題深刻反映了數學是深奧的,變化莫測又讓人捉摸不透特點，就是突破常規，在兼顧教育和教學功能的同時，更為注重數學問題的獨特風格，以及富有創造力的表達方式與手法，使數學問題具有“爆炸性”，具有瞬間動人心魄的震撼力和獨特的魅力.設計優秀的驚異型數學問題，給學生帶來的不僅是聽覺和視覺沖擊．而是心靈的震撼，可以提高學生對數學課的興趣，改變學生對數學課枯燥無味的刻板印象.

2 驚異型數學問題的設計原則

要讓課堂數學問題具有驚異性，關鍵是要提高數學問題的震撼力，讓提問變成“高層次”的提問，確實能震動學生的心靈.其中最重要的一環，是驚異型數學問題的創作設計，需遵循如下創作原則.

2.1 科學性原則

設計驚異型數學問題，無論是文字表述的形式還是問題創意，都必須是科學的，不會出現歧義.

2.2 新穎性原則

提問的新穎性，能導致創造性理解.驚異型數學問題的設計一定要新穎, 要與時俱進地保持對社會、事物等高度的關注與前瞻性的思考，充分發揮想象力，采用各種創作手段，用一種與眾不同的視角，將自己的教學觀念表達和教學風格淋漓盡致地施展于問題創作中，道出自己的個性思考.讓數學問題以更具個性化、更具創新意識的表達方式和更具創新的表現手法，邁向科學性、藝術性、實驗性等更為廣泛的探索之路.

2.3 “震撼”性原則

創意是數學問題的靈魂.所以“驚異型”數學問題的設計，要突出創意“驚異”的震撼作用：讓它對于學生來說，應該有一定的內涵，耐人尋味，有時驚奇詫異有時疑，最后如同醍醐灌頂，直指人心.它不是潺潺溪水細細流淌，也不是和風細雨潤物無聲．而是暴風驟雨電閃雷鳴.精彩與深刻，尢如豁然打開了一扇智者進出的頭腦風暴“旋轉門”，在一瞬間讓學生豁然開朗，有所頓悟，正是驚異型問題的優點所在.

2.4 主題性原則

“驚異型”數學問題的設計必須切主題，與教學內容緊密相聯，能夠對數學課堂教學有一定的暗示或提示作用.要以精煉性的文字,螺絲殼里做道場，要簡潔，完整，有力，深刻，豐富，強有力地表達出問題的特殊心理效應，隱含令人震撼深思的主題，給學生帶來強烈的心靈撼動，這是驚異型數學問題的永久魅力所在.

2.5 簡練性原則

一個好的構思得來不易，“驚異型”數學問題的設計要簡短而精練，方便地傳達設計者的創作意圖.

簡，要簡得明白，練要體現干練. 盡量追求一種含蓄、凝練的意境，突出本質，把豐富的含義和多樣化的形式統一在一個簡約的整體結構中，用最少的字將令人拍案叫絕的構思給學生最明確的意義和問題指向，言簡意賅，達到了簡約和含蓄的完美結合.

由于很多學生對文采非常敏感而且也很看重，“驚異型”數學問題有一定的文采，短小精悍，讀起來自然會賞心悅目，無疑會一下子喚出學生心中那份珍藏的美感，讓學生領悟到比短短幾句話更多的內容.

總之，“驚異型”數學問題的設計，要題不驚人思不休，經過許許多多次的反復雕琢,精益求精，才能成為精髓.

3 驚異型數學問題的作用

“問題是數學的心臟”,數學問題在數學教學中占有不可忽視的重要位置.許多著名數學問題，我們總是津津樂道、如數家珍.它們會在潛移默化中充實我們的心靈、深刻影響我們的數學審美情趣，甚至理性思維方式和行為方式.

我們曾以“你的課中所提數學問題，震撼過學生的心靈嗎？”為題，對數學教師進行訪談式調查，結果給我們的是頂級震撼，很多數學教師認為：數學問題一般不可能震撼學生心靈.但一滴水，在一些人看來，也許是微不足道的.然而，當它在極其干旱的環境中，與一些“極其渺小”的生命個體聯系起來產生的效應卻能直叩人們的心靈，其產生的力量也會重重地撞擊人的心扉.一個好的數學問題，猶如炒菜中的味精，能起到決定性的驚異震撼作用.下面我們用實例來加以說明：

3.1 讓學生感受數學的神奇魅力

有驚異型數學問題的課會很精彩!不是刻意炒作，也不要懷疑課堂中學生的激動是否理智，只要弄明白這個驚異型數學問題有著怎樣的獨特之處，讓學生懷揣著急切和疑惑走向數學問題的發現，心中的疑惑也就有了答案.

案例1(“向量方法在立體幾何中的應用”第一課時引入，李世杰課堂教學實錄):

(1)師:寫出與向量a={1，2，3}平行的一個向量.

生:{2，4，6}

(2)師:再寫出與向量a={1，2，3}平行的一個向量.

生:{3，6，9}

(3)師:你一分鐘內能寫出一千個與a平行的向量嗎？

一千個平行向量，這似乎是一個宏大的數學問題，也是充滿神秘感且獨具魅力的一個數學問題，讓學生深感驚異.課堂內飄逸的空氣中透著靜謐和諧，因為這個問題帶給學生的震撼實在太多了，學生惟一不變的動作是張大著嘴，那種場景令人嘆為觀止.

生1:只有一分鐘,寫不出來.一個個地寫,時間來不及.

生2:不可能.

師:你現在不能做到的事情,想一想用數學的方法能不能做到，再想一想.

生3:ta.

師:對.應用參數的方法可以寫出一千個與a平行的向量.但怎么表示呢?書面表達非常重要.

引導學生總結出兩種表示方法:

答案12a,3a,…,1001a.

答案2ta,t=3,4,…1002,t∈N.(為本節課中直線的向量方程作伏筆)

師小結生活中遇到解決不了的問題,就想一想用數學的方法能不能解決.如上面問題的解決,充分體現了數學的簡潔性和應用的廣泛性.

注上述數學問題是從學生意想不到的角度提出的，在課堂上學生往往認為這是根本不可能做到的.課堂教學實踐表明: 通過這一驚異型數學問題的解決,讓學生切實感受到數學的神奇魅力，提高學生對數學課的興趣，并切身體驗數學知識應用的廣泛性.

3.2 加深學生對數學的理解

驚異型課堂提問，可以深化學生對數學知識本質的理解,溝通知識之間的相互聯系,在知識獲得的同時,加深情感體驗，培養數學能力.

案例2(李盛課堂教學簡錄) 寫出一萬個對數函數.

師分析題目要求寫出的是對數函數，根據定義，一定具有y=logax這種形式，而對數函數里的x、y是不變的，因此，要寫出一萬個對數函數，只要給出一萬個不同的a值就行了.問題是：怎樣表述這一萬個對數函數？

引導學生總結出兩種表述策略：

方法1(列舉式)y=log2x,y=log3x,y=log4x,…,y=log10001x.

方法2(體現函數思想)y=logax,a=2,3,4,…,10001,a∈N.

上面廖廖數筆，就寫出了一萬個對數函數，學生感到十分新奇，震撼，并產生共鳴.顯然，方法2更能體現數學的簡潔性，由于讓a動了起來，可以讓學生很好地體驗對數函數細微的深刻內涵，既培養了學生的函數感，又加深了學生對對數函數的理解.

這在課堂中是一分鐘的驚異！充分顯示了數學問題的震撼力，這種簡約之下的數學震撼，也是數學的藝術魅力所在！

也許有學生會提出：y=logax,a=1,2,3,4,…,10000,a∈N.這里可提示學生思考：有沒有問題？學生們容易發現a=1不符合規定，可加深學生對對數底數不能為1的理解.

注案例1和案例2中的數學問題，讓學生領略到了什么是驚異性數學問題,往往也是大氣的數學問題(主要是指數量大、規模大、場面大、含量大而視覺沖擊力強、心理震撼力大的數學問題)，它給學生視覺、心理的沖擊、震撼非常大，并給學生留有懸念和無限的想象空間，能在短短的幾秒鐘內抓住學生的心，讓學生產生欲罷不能、先睹為快的強烈沖動，吸引學生急著去了解事情的真相.

因此，從某種意義上講，這種驚異型的數學問題，是一種不可多得的“抓心”藝術，能有效觸動學生的心靈，讓靈動的智慧和人文的光輝溢滿課堂，使課堂教學高潮迭起，容易激發學生的興奮點，帶給學生一種全新的體驗，為學生創造廣闊的想象空間，經歷一次美好的精神旅行，自然提升了數學問題的教學價值和審美價值.

3.3 培養學生數學化的觀念

在一定程度上，數學問題是我們認識世界、把握世界和改造世界的一種方式.對實際問題的背景進行數學化處理，可以讓學生用數學的觀念認識世界，用數學的語言描述世界，通過數學化解決，可以充分發揮數學對生活的指導作用，化神奇為平凡，用數學的方法改造世界，產生“變不可能為可能”的奇跡，是發展和培養學生應用意識和應用能力的關鍵.

案例3一個小和尚,早晨上山,到山頂后在寺內寄宿一夜,第二天早晨仍按照原路下山,和尚的速度不一定,在路上可以走走、停停、跑跑，請問和尚上山和下山時經過的時間相同的點的個數是( )

A.0個 B.1個

C.2018個 D.A、B、C都有可能

分析初看這個問題與數學無關.實際上是數學中的存在性問題，利用交軌模型可以獲得解決.

把一個和尚上山下山問題，改為等價的一個和尚上山，另一個和尚下山的軌跡相交問題，這樣“和尚上山和下山時經過的時間相同的點的個數”，等于兩個和尚分別上山和下山時的相遇點個數.

(1)第一層次答案:由于路程與時間的關系， 0個.如：第一天小和尚6點上山，用了1個半小時到山上,第二天小和尚8點下山，用了1個小時，9點到山下.這樣和尚上山和下山時經過的時間相同的點就不存在；

(2)第二層次答案:剛好相遇，和尚上山和下山時經過的時間相同的點為1個；

(3)第三層次答案:如果和尚是個調皮的小和尚，來回跑動，相遇交點就可以為任意個(有限個).

知識的作用在于應用.從本例可見,神奇的數學知識，可以應用在人生的每個方面，亦可以應用在生活的每個細節上.掌握數學知識的遷移與應用規律，實現學以致用,可以提高數學的綜合能力.

3.4 改進學生的學習方式

案例4(李盛課堂教學實錄)你一分鐘能解一萬道數學題嗎？

課堂中提出該問題的時候，多數學生都認為：這是不可能的.但教學的效果是驚人的.經過反復引導，學生們給出了如下幾個答案：

答案1一萬個數學計算題

0×a=,a=1,2,…,10000.

萬題同答案：0.

答案2一萬個方程組

萬題同一解：

答案3一萬個周期函數

求函數f(x)=cosax(a=1,2,…,10000)的最小正周期.

實際上，這只是一般化的數學結論具有的一萬個特例,是學生們平常都會做都會求的數學常識，只是沒有從這樣的視角去分析挖掘而已.

追問1你一分鐘能解的一萬個數學題，會是什么樣的數學問題？

引導學生總結出：具有共性的批量數學問題.

批量解題，打開了數學創造之門，這是數學創造的奇跡.

追問2如果你一分鐘能解一萬個數學題，用的是什么數學思想方法？

引導學生提煉出：對字母參數進行功能開發，將一般性結論中的字母參數“動態化”，是函數思想的創造性應用.

當然，這是開放性問題，答案不惟一.

注一個驚異型數學問題，具有磅礴大氣，課堂上再配上整齊排列的重磅大字，會強烈地刺激著學生的興奮點.從視覺效果上看，有一種恢弘的氣勢，讓學生產生一種“大江東去”的豪邁和“飛流直下三千尺”的痛快淋漓，可以有效改變學生的思考方式，經常把數學知識與生活實際聯系起來，加深知識內涵的理解，同時也改進了學生的學習方式，讓學生切實意識到數學是有用的，數學處處有神奇.

4 驚異型數學問題的創作來源

4.1 改造常規課堂提問

案例5在“兩角差的余弦公式”教學中，教材引入設計的是測電視塔高度問題.開課后精心設計懸念式詩意導言：“我們能不能，不上山測得山高，不過河測得河寬，不爬上電視塔測得塔高，這是什么神秘武器？學習了本節課的內容后，你就會知道結果了”.這句導言激發了學生極大的探索熱情.

注教學中不以纖巧華美的詞藻取勝，而是以平易通俗、準確有力、能為所有學生接受的語言征服學生，取得令人拍案叫絕的結果.

①

通常把上式寫成a>0,b>0,c>0,d>0時，

②

提出問題 對于二個正數，有不等式①成立；對于四個正數， 有不等式②成立，我們自然會猜測:對于三個正數，也存在類似的不等式，即

③

想一想能否直接由不等式①推出不等式③？不等式①也是不等式③的特殊情形嗎？

試一試類似于上面做法，應用不等式②推證8個正數的類似不等式(通常稱為算術——幾何平均值不等式)，并通過特殊化得到5個，6個，7個正數的類似不等式(通常稱為算術——幾何平均值不等式)，它的一般情形也是成立的.

評注通過加一加，不僅獲得了新的不等式，還讓學生學到了創新的一般技法：加一加，乘一乘，變一變，想一想，試一試.問題設計巧奪天工，結果出人意料，由四元，八元基本不等式來反推出小于四元，八元的基本不等式，結論還可推到一般形式，學生會震撼問題奇特而耐人尋味.這種反向論證的新方法，既讓學生體驗了n元平均不等式證明的歷史脈絡，又學到了數學創新的方法.

4.2 精心預設, 光芒四射

經過精心預設，我們可以將一些普通數學問題改造成讓學生驚異的數學問題.如：

案例7(李世杰課堂教學實錄)在函數模型教學中, 講授折紙中的學問.

師:數學真神奇，現代高科技本質上是數學技術.古希臘物理學家阿基米德說過:“給我一個支點,我能撬動地球.”這句話運用了夸張和比喻等修辭方法，作為一名教師,總希望能找到這樣一個四兩撥千斤的支點,撐起整個課堂,最大限度的點燃學生的主體性.我們數學中能不能想到類似說法.

生:沉思,默想.

師:給我一張紙，送你上月球.

生1:不可能.

生2，生3，生4眾說紛紜:我給你一張紙,你送我上月球.

師:如果怎么簡單,就能把你送上月球,那還要航天部門干什么?顯然,這是一個虛擬的數學問題,下面我們進行數學化剖析.

(出示問題) 一張厚度為0.1毫米的薄紙，不斷對折，折51次后，紙疊得有多厚？

想象一下，你手里有一張足夠大的白紙.現在，你的任務是，把它折疊51次.那么，它有多高？

一個冰箱？一層樓？或者一棟摩天大廈那么高？不是，差太多了，這個厚度超過了地球和太陽之間的距離.

師生一起探討, 發現:不斷對折，折51次后，紙疊得有多厚？

圖1

現在要把這一張紙對折51次,其厚度的計算就應該為0.1毫米的2的51次方倍，計算后的答案是：2.25億千米！2.25億千米是什么概念？

地球的赤道長度是40075.24千米，2.25億千米就相當于繞赤道56189.3圈！太陽與地球之間的距離是1.5億千米左右(在遠日點，距離是1.5億公里；在近日點，距離在1.47億公里以內)，2.25億千米相當于太陽與地球之間的距離的1.5倍！

一般地，對折x次后,厚度的增長規律滿足函數模型y=0.1×2x.

注數學與生活的聯系是這么密切，這個問題蘊含著深刻的數學道理，潛藏著神奇的數學奧秘.高中學生雖已讀了十幾年數學知識了，但可能都是紙上談兵，只會做題和考試，而建模是去解決實際問題.從書中到書外，從理論到實踐，這是一次飛躍.每張紙對折一次，厚度就翻一倍.而隨著厚度的增加，折了七八次后，折疊起來的紙張就會很厚了，而可供折疊的紙面積就越小，再想繼續對折就不可能了 (參見文獻3) .這類案例在數學中數不勝數，而此問題絕對是一枝奇葩.處處綻放著數學智慧的幽默之花，充滿了濃郁的人文關懷氣息，別有另一番風味，讓學生感悟生命、享受震撼，驚異到無語.使學生經歷了無與倫比的情感歷程.相信即使到老，這批學生也不會忘卻這一個動人的數學問題.

4.3 抓住課堂現場的細微契機生成

教學不是完全根據教師的事先預設按部就班地進行.在課堂中發現和關注可以開發的課堂細節，反映教師的睿智和思想；捕捉和利用細節，則體現教師的實力和功力. 只有師生的思維在碰撞中產生了“火花”，課堂教學才能不斷生成.

案例8(李盛課堂教學實錄)在上函數定義域用區間表示時，初次引入無窮大“∞”符號，有學生嘀咕：無窮大是什么東西？

師：(靈機一動追問)無窮大與我們的生活有關嗎？

很多學生的回答是：無關.太大了.

師：真的無關嗎？

生：沉思

師：實際上，無窮大與我們的生活密切相關.如我們任意走過一步，就包括“無窮”多個位置.只是由于習慣成自然，沒有這樣去思考聯想罷了.

注這是讓學生驚異的一個數學問題，它具有簡約精悍的獨特風格和扣人心弦的震撼魅力.拉近了學生生活與“無窮大”概念的距離，加深了學生對所學知識的理解.

4.4 開發體現數學知識與思想方法應用價值的提問

案例9《體外震波碎石機》的工作原理見示意圖，它是如何將碎石的能量輸入人體內的？

如圖2，在焦點A位置固定一個火花塞，在某一瞬間通入幾萬伏的高壓電，發生電火花，電火花的能量足夠將處于第二焦點的堅硬如鋼結石打碎.

圖2

知識背景電火花的能量經半橢球反射杯進行聚焦，能量傳送到第二焦點.如果結石剛好位于該處，則被此能量擊碎.

評注問題盡管不大，但能很好體現焦點的應用價值，留給學生無限感嘆.

4.5 依托數學創新理論進行設計

一個數學新概念的出現，往往能帶來一個全新數學領域的誕生.

案例10 函數與方程是重要的數學模型，它們以“解集”的方式刻畫自然形態.不等式也有解集，我們能用不等式的解集來表述大自然千姿百態的美麗嗎？

答案是肯定的.借助高級軟件和編程，我們得到了令人驚異的結果，舉二個實例：

圖4

圖3

(1)不等式[1+(x+y)4][1+(y-x)4][1+(3-2y)4]≤82的解集圖案(如圖3)，形似金元寶，我們把此不等式稱為金元寶不等式；

(2)不等式sinx+siny+cos(x+y)≥1+4sinxsinycos(x+y)的解集圖案(如圖4).

圖5

整個圖案是由“環環相扣”的基本圖案(如圖5)通過上下左右周期性平移組成. 我們把此不等式稱為環環相扣不等式.

評注一個個枯燥的不等式演變成一張張精美生動的幾何圖形，精美絕倫,美倫美奐, 這是“數學之美”的新發現,在文獻[2-8]中也作過研究.這些驚異型數學問題的教學，不僅從形式上觸及學生的視覺網膜，而且有“視覺沖擊力”和“情感震撼力” ，其創意穿過學生頭腦，觸及學生的心靈. 有助于增強課堂教學的感染力和效果，寓教于樂，大大激發了學生學習的熱情，學生不僅用聆聽，還用心去體會享受.

5 驚異型數學問題的教學實效及有待繼續研究的問題

驚異型數學問題的教學，不僅從形式上觸及學生的視覺網膜，而且有“視覺沖擊力”和“情感震撼力” ，其創意穿過學生頭腦，觸及學生的心靈, 增強課堂教學的感染力和效果，將會開辟出一個數學教育新天地.寓教于樂，大大激發了學生學習的熱情，學生不僅用聆聽，還用心去體會享受.高中數學課堂教學實踐證明：有意識用一些恰當的驚異型數學問題引導教學，能夠很好地體現數學的神奇魅力，只要適時恰當使用，能提高課堂教學的藝術性，有效提高課堂教學效率.用問題驚異性震撼課堂，學生能更深刻感受數學思想方法的精妙絕倫.有待研究的問題有以下三個.

5.1 要緊緊圍繞教學內容進行設計

一個好的驚異型數學問題，源于對教材內容準確、深刻地解讀，和寬闊、深厚的數學文化構建，要緊緊圍繞教學內容進行設計，關鍵是如何和內容有機結合，使之水乳交融，渾然一體，要按照美的規律來創造，作為美的信息載體，成為人類文化情感和美質的積淀. 且比常規教法更適合學生，這樣可以充分發揮師生雙方的積極性.

驚異型問題并不一定適用于所有的課堂教學，問題設計不當會導致不好的后果.所以對驚異型問題所具有的極強的感染力和滲透力，應該綜合認識和運用.

5.2 內容選用要精美

課堂教學是一門藝術，課堂教學中驚異型數學問題的成功運用同樣也是一門藝術.數學是一座智慧的城堡，在這神秘的世界里有許多驚異型數學趣題，教學中選用的內容一定要精美,要有教學魅力，體現在可吸引學生的注意力繼續學習，有審美價值，有長久深遠的感染力、穿透力與親和力.

但一個驚異型數學問題的集聚，有些像一個鏡子的碎片重新收錄在一起，從不同向度看，映出的鏡像都會不同，這就要求我們在選用時要作深層次的思考.

5.3 使用時機要恰當

驚異型數學問題使用的時機要恰當，是在上課之初，還是在快下課時，是在講授前，還是在講授中或講授后，都要根據教學內容和授課實際精心安排.

6 結語

本文提出了“驚異型”數學問題的概念，討論了驚異型數學問題的設計原則，揭示了驚異型數學問題在教學中的作用，總結了驚異型數學問題的創作來源，最后提出幾個有待繼續研究的相關問題.

教學實踐證明：創設有效的驚異型數學問題，能夠很好地體現數學的神奇魅力，適時恰當使用,能有效提高課堂教學效率.我們的研究僅僅是冰山一角，希望能起到拋磚引玉的作用.樂于見到有更多更好的超級驚異型數學問題的出現，以提高數學的震撼力，用那精巧的情節和簡練中透出的深度，在課堂中一下子就能擊中學生的內心，撼動學生的心靈，讓他們體會到：數學這么有用，數學真神奇！相信驚異型數學問題的生命力會很強，在數學園地會占據一席之地，煥發著勃勃生機,不但能夠承載思想，傳播真理，而且能夠改變人的思維方式，震撼心靈.