“夾逼法”在函數極限計算中的實踐探析

李雨薇

【摘要】 函數極限是高等數學的重要內容，有效計算方法的習得，是實現函數極限計算的重要基礎.本文立足夾逼準則的認識，闡述了夾逼法在函數極限計算中的常規應用，就如何合理縮放，構建準則“條件”，做了具體闡述，以強化夾逼法在函數極限計算中的應用.

【關鍵詞】 函數極限;夾逼法;計算;實踐應用

函數極限計算是高等數學學習中的重要內容，也是難點所在.在實際學習中，強調計算技巧的有效掌握，提高函數極限計算的準確性、簡便性.夾逼準則是高等數學中運用于函數極限計算的重要定理，對很多極限的計算，夾逼準則可以起到事半功倍的效果.“化繁為簡”“一步到位”的計算效果，往往成為學生極限計算的重要策略.但如何巧用、妙用，是夾逼準則應用的關鍵所在.本文立足對夾逼準則的研究，就如何有效應用，做了如下具體闡述.

一、夾逼準則及應用

定理? 如果函數列{xn}，{yn}，{zn}滿足以下條件：

（1）yn≤xn≤zn（n=1，2，3，…）;

（2） lim n→∞ yn=lim n→∞ zn=a.

那么，函數列{xn}存在極限，且為 lim n→∞ xn=a.

對夾逼法準則，現通過兩個例子進行探討說明.

例1?? 求 lim n→∞ n? 1 n2+π + 1 n2+2π + 1 n2+3π +…+ 1 n2+nπ? .

分析? 該題看上去比較復雜，若采用常規的方法，顯然是無法計算求得極限.這時候，需要轉變思考方向，運用夾逼法看是否可以求得.對n? 1 n2+nπ? 進行縮放，看是否可以出現定理中的兩大條件.很顯然，對通項可以進行縮放，構建條件（1），這為夾逼法的應用，創設了條件，要進一步要求動手實踐，嘗試性求算.

解? 因為

n n+π ≤lim n→∞ n? 1 n2+π + 1 n2+2π + 1 n2+3π +…+ 1 n2+nπ? ≤ n2 n2+π ，

而 lim n→∞? n n+π =1，lim n→∞? n2 n2+π =1.

因此，運用夾逼法，lim n→∞ n? 1 n2+π + 1 n2+2π + 1 n2+3π +…+ 1 n2+nπ? =1.

從上述例子可以看出，在運用夾逼法求函數極限問題時，可以通過夾逼準則的有效應用，實現快速地極限求算.對通項為無限項乘積或和的函數數列，可以通過合理的縮放，構建夾逼準則的兩大條件，適用夾逼法，獲得較好的計算效果.

二、夾逼法求解含有乘方或階乘形式的函數的極限

在對常規函數的極限求算中，夾逼法的應用技巧比較單一，在于如何一目了然的縮放.但是，在含有乘方或階乘形式的函數的極限求算中，題型相對更加復雜，乘方函數的自變量n或包含在冪指數、根指數或者對數中，且有兩處出現該自變量，更加強調夾逼方法應用的靈活性.（1+p）n的二次項展開：

（1+p）n=1+np+ n（n+1） 2 p2+…+pn.

在該類函數極限的計算中，可以對其進行適當的縮放，讓看似繁復的極限計算，從n或x中進行有效解脫，運用夾逼法有效計算其極限.這樣的計算思維，能夠獲得更好的計算效果.對很大一部分學生而言，含有乘方或階乘形式的函數的極限求算，十分考驗能力.但關鍵還是需要靈活轉變，從知識的綜合應用中，求得函數極限.

例2?? 證明 lim n→∞? an nk =+∞（a>1，k∈ N ）.

這道極限證明題，解題方法有多種，但夾逼法的應用比較通俗明了，對提高證明效率有較好的作用.我們知道，對該題，我們只需要證明 lim n→∞? nk an =0（a>1，k∈ N ），將思考方向進行轉換，為夾逼方法的應用創造條件，也為縮放提供空間.

解? a=1+p（p>0），

則an=（1+p）n=1+np+…+ n（n-1）…（n-k） （k+1）！ pk+1，

因此，an> n（n-1）…（n-k） （k+1）！ pk+1，

因而，有

0≤ nk an < nk（k+1）！ n（n-1）（n-2）…（n-k）pk+1 < （k+1）！ pk+1 = （k+1）！ pk+1 ·? n n-k? k· 1 n .

此時，我們需要注意， （k+1）！ pk+1 是常數，并且還有 lim n→∞? 1 n =0，lim n→∞?? n n-k? k=1.因而，可以得出 lim n→∞? （k+1）！ pk+1 = （k+1）！ pk+1 ·?? n n-k? k· 1 n =0.

在此基礎之上，運用夾逼方法，可以得：

求 lim n→∞? nk an =0，也就是 lim n→∞? an nk =+∞.

整個的證明過程十分平順，看似十分復雜的證明，在夾逼法的應用中，實現了有效緩解，且成功證明的關鍵在于：（1）轉換思維方向，將 lim n→∞? an nk =+∞轉換為 lim n→∞? nk an =0的證明，為夾逼法的應用，創設了前提條件;（2）善于抓住含有乘方或階乘形式的函數特點，通過合理的變式、轉換，逐漸向目標極限值出發，實現有效極限計算.

總而言之，夾逼法是高等數學學習中的重要準則，廣泛適用于函數極限的求算.在對函數極限求算中，要善于抓住“題目”特點，通過準則條件的構建，為夾逼法的應用創設條件，對快速求算極限，起到重要作用.在本文的探討中得出，科學有效的縮放，是夾逼法應用的關鍵，要求把握縮放空間，在夾逼準則的條件之下，求得函數極限.因此，夾逼法具有化繁為簡的良好效果，讓極限求算從繁雜的函數項中解脫出來，通過簡單函數的極限求算，獲得復雜函數極限值.

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