數學高考試題中不等式分析與思考

敬奇榮

【摘要】 在高考改革的大背景之下，高考數學命題的創新性，是推動高中數學教學改革的重要基礎.本文立足對高考不等式試題的分析，從不等式的工具應用、不等式知識的綜合考查等方面，分析了高考試題中不等式的特點及解題技巧.

【關鍵詞】 高中數學;不等式;應用

本文立足2016年、2017年全國數學高考試題，具體談談高考試題中不等式.

一、以知識內在聯系為載體，考查解決數學問題的應用

在高中數學知識中，不等式既是知識的載體，又是解決數學問題的重要工具.高考不等式命題，注重知識之間的內在聯系，在與函數單調性、值域、解三角函數等的應用中，更多的是運用不等式去解決數學問題，體現出其工具屬性.因此，不等式的知識學習，是解決數學問題的重要手段.

（一）解決函數問題

在函數問題的解決中，經常會用到不等式的性質，并在函數單調性的結合之下，實現對函數問題的有效解決.2016全國卷Ⅰ·理8的試題解答，就需要運用到不等式知識.

試題? 若a>b>1，0

A.ac

C.alogbc

分析與解答? 該題的解答，需要運用到不等式的性質，實現對選項B，C，D進行轉換，為函數構建創造條件.選項B：abc

（二）極值問題解決

在高中數學知識中，極值問題是重點，將極值問題與求導、不等式的結合，實現了對學生知識的綜合考查.學生需要具備良好的綜合能力，能夠巧妙運用基本不等式、函數單調性，實現對極值問題的有效解決.在2017全國卷Ⅱ·21的解題中，就需要不等式與極值問題的相關知識.

試題? 已知函數f（x）=ax2-ax-xlnx，且f（x）≥0.

（1）求a;

（2）證明：f（x）存在唯一的極值點x0，且e-2

分析與解答? （1）略.求得a=1;對問題（2），由（1）可知，f（x）=x2-x-xlnx，則f′（x）=2x-2-lnx，令f′（x）=0，可得2x-2-lnx=0，記t（x）=2x-2-lnx，則t′（x）=2- 1 x ，令t′（x）=0，可解得x= 1 2 .因此，t（x）在區間 0， 1 2? 上單調遞減，在? 1 2 ，+∞ 上單調遞增.所以，tmin（x）=t? 1 2? =ln2-1<0，從而t（x）=0有解.存在兩個根，x0，x2.在此，不妨設f′（x）在（0，x0）上為正，在（x0，x2）上為負，在（x2，+∞）上為正.也就是說，f（x）必存在唯一極大值x0，且2x0-2-lnx0=0.由此可得：f（x0）=x20-x0-x0lnx0=x0-x20.由x0< 1 2 可知，f（x0）<（x20-x0）max=- 1 22 + 1 2 = 1 4 .再由f′? 1 e? <0可得出，x0< 1 e < 1 2 .為此，f（x）在（0，x0）上 單調遞增，在 x0， 1 e? 上單調遞減，所以f? 1 e? = 1 e2

二、以不等式的綜合應用為基礎，考查學生數學能力

高考在不等式試題的構建中，側重于學生綜合應用能力的考查，特別是對推理論證能力、抽象概括能力等的有效考查，強調學生應具備一定的數學思維.從近幾年的考題來看，數列通項的縮放、恒成立問題等的考查，都是高考不等式的重要出題方向，應在這些方面強化理解與訓練.

在數列不等式的證明中，“縮放”技巧運用比較廣泛，能夠幫助學生事半功倍地實現不等式證明.縮放的巧用，在于學生能夠實現對知識的綜合運用，在發散思維的視角之下，通過科學合理的縮放技巧，達到不等式證明的目的.

試題? （四川卷·理19）已知數列{an}的首項為1，Sn+1為數列{an}的前n項和，Sn+1=qSn+1，其中q>0，n∈ N *.

（1）若2a2，a3，a2+2構成等差數列，求數列{an}的通項公式;

（2）設雙曲線x2- y2 a2n =1的離心率為en，且e2= 5 3 ，證明：e1+e2+e3+…+en> 4n-3n 3n-1 .

分析與解答? 對問題（1），比較簡單，是常規的數列知識考查，可以很快計算出：an=2n-1（n∈ N *）.對問題（2），可以由（1）中的通項公式an=qn-1，可以得出該曲線的離心率為en= 1+q2（n-1） .再由e2= 5 3 可以得出，q= 4 3 .

對en= 1+q2（n-1） ，可以知道，通過直接的加和求算，顯然是無法計算出e1+e2+e3+…+en之和.如何往下推進，朝著目標不等式靠攏，則需要考慮運用“縮放”技巧，對en= 1+q2（n-1） 的通項進行適當轉變，以實現求和.

因為en= 1+q2（n-1） > q2（n-1） =qn-1.

很顯然，對e1+e2+e3+…+en>1+q+q2+…+qn-1縮放求和，便可以簡單實現.e1+e2+e3+…+en>1+q+q2+…+qn-1= qn-1 q-1 .

現將q= 4 3 代入，便可以得出，e1+e2+e3+…+en> 4n-3n 3n-1 .

三、結束語

總而言之，不等式作為高中課程體系的重要內容，與其他知識的融合考查，成為當前高考不等式命題的重要趨勢.在本文的探討中，不等式在高中試題中的呈現，側重于基本不等式的應用，并基于綜合知識考查等方式，提高不等式試題對學生數學能力的有效考查.數學高考試題中的不等式試題，應以發散的思維視角，實現有效學習.

【參考文獻】

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[3]李明生.高等數學背景下的函數與不等式高考試題分析[J].黃岡師范學院學報，2009（6）：21-24.