數學思想方法在數學解題中的運用嘗試

季子怡

【摘要】 數學思想方法作為學習的重難點，掌握數學思想方法等同于掌握了數學學習的核心.但是對我們而言，數學思想方法的運用難度較大.因此，下文主要圍繞數學思想方法在數學解題中的運用進行研究.

【關鍵詞】 數學;高中;數學思想方法

掌握數學思想方法不但有助于我們把握數學知識脈絡，而且有助于構成數學知識體系，提升數學解題能力.在高中數學學習中，思想方法作為重難點，包含許多內容，比較常見的是數形結合思想、函數與方程思想、分類討論思想、轉化與化歸思想等.下面就以這些方法為例展開分析.

一、數形結合思想

高中數學研究的主體對象是數與形，兩者具有密不可分的關系[1].數形結合作為一種十分常見的數學思想方法，在實際應用中主要分為以下兩種情況：其一，借助數據的準確性來描述形的某種特征;其二，借助幾何圖形的直觀性來描述數與數之間的某種聯系.簡單地說，數形結合分為兩種類型，一是“以數解形”，二是“以形助數”，具體解題過程以下題為例：

已知f（x）是定義在（-3，3）上的奇函數，當0

A. -3，- π 2? ∪（0，1）∪? π 2 ，3

B. - π 2 ，-1 ∪（0，1）∪? π 2 ，3

C.（-3，-1）∪（0，1）∪（1，3）

D. -3，- π 2? ∪（0，1）∪（1，3）

由圖像可知：00.再由f（x）是奇函數，知：當-10;當-3

當-30，∴當x∈ - π 2 ，-1 ∪（0，1）∪? π 2 ，3 時，f（x）·cosx<0，故選B.

二、函數與方程思想

函數思想，簡單地說是利用函數的性質與概念，將問題轉換成可以解決的問題.方程思想則是以數量關系為基礎，結合數學語言將實際問題中的未知條件及已知條件轉換成數學模型，既可以是方程、不等式，又可以是方程與不等式的混合，在此基礎上計算求解方程（組）或不等式，從而得出正確答案[2].函數涉及的知識點比較多，一直是考試的重點，我們需要提高對此方法的重視.當前比較常見的集中題型：一是遇到變量過程中，依據實際情況構造函數關系，從而順利解題;二是求解有關最值類的問題時，借助函數觀點分析數學條件;三是遇到多種變量的問題時，我們需要從中選取最佳的主變量，揭示函數間的關系，順利解答問題.以下題為例：

如圖所示，矩形ABCD的邊AB=a，BC=2，PA⊥平面ABCD，PA=2，現有數據：① a=? 3? 2 ;② a=1;③ a= 3 ;④ a=2;⑤ a=4.當在BC邊上存在點Q，使PQ⊥QD時，a可能取所給數據中的哪些值？請說明理由.

建立如圖所示的空間直角坐標系，則各點坐標分別為：A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）.設Q（a，x，0）（0≤x≤2），∵PQ =（a，x，-2），QD =（-a，2-x，0），∴由PQ⊥QD，得PQ ·QD =0，∴a2=x（2-x）.∵x∈[0，2]，∴a2=x（2-x）∈（0，1]，∴在所給數據中，a可取? 3? 2 和a=1兩個值.

三、分類討論思想

事實上，每個結論都有自己成立的所需條件，每種數學方法的使用也存在一些特殊要求，在我們解題過程中，由于部分問題的結論存在不穩定性，所以不可以只是用一種解題形式去對其展開探究，分類討論思想應運而生[3].在解答實際問題過程中，我們將數學問題按照一定規律與要求，分成若干個問題來解，這一解題思想被人們稱之為分類討論思想.分類討論的類型有許多種，具體如下：第一，與數式相 關的分類討論;第二，三角形中的分類討論;第三，圓中的分類討論.以下題為例：

如圖所示，在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中點，過P點的直線交AB于點Q，若以A，P，Q為頂點的三角形和以A，B，C為頂點的三角形相似，則AQ的長為（? ）.

A.3

B.3或 4 3

C.3或 3 4

D. 4 3

解析：∵AC=4，P是AC的中點，∴AP= 1 2 ，AC=2，① 若△APQ∽△ACB，則 AP AC = AQ AB ，即 2 4 = AQ 6 ，解得AQ=3;② 若△APQ∽△ABC，則 AQ AC = AP AB ，即 2 6 = AQ 4 ，解得AQ= 4 3 .∴AQ的長為3或 4 3 .故選B.

四、轉化與化歸思想

轉化與化歸思想不只是一種常用的解題思想，也是一種應用廣泛的思維策略.在解題過程中應用化歸思想方法，收集已知與未知量，將其轉換成簡單易解的問題，不但能降低解題難度，而且有助于提升我們的解題效率.同時，化歸在數學解題中十分常見，主要功能是：將我們原本陌生的知識轉換成較為熟悉的內容，將復雜、難以理解的知識轉換為簡單的內容，將抽象、難以理解的知識轉換成形象具體的內容，以此降低解題難度.以下題為例：在三角形ABC中，若三邊a，b，c滿足c2=a2+b2，則三角形ABC是直角三角形，現在請你研究：若cn=an+bn（n>2的自然數），問三角形ABC為何種三角形？為什么？

五、結束語

綜上所述，數學思想方法作為數學課程的精髓，其在數學解題中無處不在，需要我們深度挖掘.要想提升我們的考試成績，需要注重日常積累，活學活用數學思想方法，從解題中總結規律，從而不斷提升解題能力.

【參考文獻】

[1]李貞凌.數形結合思想方法在高中數學教學與解題中的應用[J].學周刊，2017（27）：105-106.

[2]林雪.關于轉化思想方法在高中數學解題中的應用探討[J].中國校外教育：上旬，2016（5）：71.

[3]趙建雄.淺談化歸思想方法在中學數學教學解題中的應用[J].甘肅科技縱橫，2007（6）：184.