面向數學發現與探索的合情推理規則教學

【摘要】本文針對小學數學教師存在的對發展核心素養“推理能力”的關注不足，對“推理”認識有偏差，沒有掌握有關推理的理論知識，不能將推理規則運用于教學實踐等問題，論述在小學數學教學歸納推理與類比推理的策略。

【關鍵詞】合情推理 數學發現 推理能力 核心素養

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2019）01A-0028-05

推理能力是各年齡段學生都要發展的重要數學素質之一，但是中小學生受其心理發展水平的制約，需在教師的指導下提升推理能力，因此要求教師具備一定的推理知識。近三年來，筆者通過對參加我校組織的“國培”項目培訓的小學數學教師訪談發現：大部分小學數學教師對發展核心素養“推理能力”的關注不足，對“推理”認識有偏差，沒有掌握有關推理的理論知識，特別是不能將推理規則運用于教學實踐。針對這些問題，筆者從生活情境、中小學數學教材、數學家的著作和數學教學研究文獻入手，深入學習了數學中廣泛運用的觀察、實驗、歸納、類比等典型思維方法，總結成文以期引導數學教師在體驗中感悟合情推理的規則及其背后隱含的數學思想，并將合情推理的方法和規則運用于數學教學，成為“講道理”的數學教師。

《義務教育數學課程標準》（2011版）指出：推理能力的發展應貫穿整個數學學習過程。推理是數學的基本思維方式，也是人們在學習和生活中經常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果;演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規則（包括運算的定義、法則、順序等）出發，按照邏輯推理的法則證明和計算。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發現結論;演繹推理用于證明結論。

數學家是怎樣發現數學定理的？他們是否有秘訣？十八世紀著名數學家歐拉告訴我們一個秘訣：數學定理是靠觀察得來的。事實上，歐拉自己就是一位善于觀察的數學家。十八世紀法國的另一位著名數學家拉普拉斯曾經指出：在數學這門科學里，我們發現規律的主要工具是歸納和類比。歸納和類比是合情推理的主要規則，也是對實驗觀察的結果進行去粗取精、去偽存真，厘清事實、概括經驗的思維方法。小學數學教學中我們經常運用“實驗歸納”“觀察歸納”等方法來尋找規律。教師在學習和研究數學的過程中，應重視自己的經驗，學會觀察、歸納和類比等科學方法，掌握數學發現的藝術。筆者主要論述合情推理規則的教學。

一、“特殊到一般”的歸納推理

（一）歸納推理概述

由某類事物的部分對象具有某些特征推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）。將推理“符號化”，即將具體的對象進行抽象、概括，形成了歸納推理的一般結構形式。用文字表達則是：S1具有（或不具有）性質P;S2具有（或不具有）性質P;……;Sn具有（或不具有）性質P;S1，S2，……，Sn都是S類事物，所以，S類事物都具有（或不具有）性質P。

許多人承認科學上的發現和發明，如物理學中的運動定律、化學中的鏈霉素、生物學中的遺傳規律等都是依靠實驗歸納和觀察歸納得到的。在小學數學階段學習的“找規律”，幾乎都是運用歸納進行探索和發現的。歸納推理是從特殊到一般的推理。由于事物的普遍性寓于事物的特殊性之中，歸納可以為我們提出猜想提供基礎與依據。它是一種重要的思維方法，是發現數學定理的一個重要途徑。圖2列舉了兩個推理案例。

但是我們一定要意識到，歸納推理所得的結論并不可靠。例如，我們在一個班級任意抽取4名學生，抽取的第1名學生是男生，第2名學生是男生，第3名學生是男生，第4名學生還是男生，于是我們就下結論：這個班上的學生全是男生。事實上，這個班是有女生的，很顯然，歸納推理得到的結論并不可靠。我們也常常把這樣的歸納推理稱為“不完全歸納推理”。

教師在指導小學生用歸納推理“找規律”時應該告訴學生：發現規律還需要弄清其真偽，可以繼續研究一系列的特例，如果有不支持結論的反例，我們就可以否定之前的規律;如該規律在新的特殊情況中仍被證實，結論就變得更加可靠，同時還得滲透給學生知道“更加可靠”不等于“一定可靠”，還需要依靠演繹推理去證明。

（二）歸納推理在小學數學教學中的應用及教學改進

【案例1】長方形的面積公式的“推導”

以下是小學教育專業大三師范生在數學課堂上與學生的一段對話。

師：你會求長方形的面積嗎？

生：會呀，用公式呀，長方形的面積=長×寬。

師：為什么長和寬都是長度，“長×寬”就變成面積了呢？

生1：小學階段學的，怎么推導沒有印象了。

生2：長與寬雖然都是長度，但它們的乘積是“積”，應該就是“面積”吧。

生3（尷尬地說）：是哦，為什么是“長×寬”，記得老師讓我們記住公式，會求長方形面積就行了。好像教師也沒有講過推導。

筆者后來又聽了其他小學教師、實習生教學的“長方形面積的計算”一課，以及師范生“教學設計與實施”課程的模擬講課。他們大多是“照本宣科”地“推導”出長方形的面積公式。學生真的明白“長×寬”的道理了嗎？這樣上課又給學生留下了什么？

教師依據教材（如圖3），讓學生經歷從數格子，到借助方格圖發現長與每行的方格個數的關系、寬與行數之間的關系，用乘法來計算格子的個數，即得到長方形的面積。隨后教師可以依次用若干個單位邊長的“小方塊”擺出5個不相同的長方形，而從5個不同的長方形面積都是“長×寬”，得到“所有的長方形的面積=長[×]寬”的結論。學生感悟到這恰好是我們找規律最常用的“歸納推理”，從而明白長方形面積公式形成的道理所在。

為了防止學生認為歸納推理就足以保證公式“可靠”，筆者建議小學教師此時再加一句話，“今天我們發現的這個公式到目前為止沒出過反例”或者“當我們到中學或大學階段，還會學習用邏輯推理（必然推理）規則更加嚴格地證明這一公式”……

【案例2】圓周率的計算

師：圓的周長與直徑到底有什么關系呢？這個規律需要同學們自己去發現?，F在請同桌二人小組分工，測量一個圓片的直徑并計算出該圓片的周長除以直徑所得的商，得數保留兩位小數，把數據填寫在相應的表格（見表1）中。

（學生測量、計算、填表，然后小組匯報）

師：從他們匯報的數據看，同學們發現了什么嗎？

生：我們這個小組每個圓的周長也大約是直徑的3倍多一些。

師：這就說明圓的周長除以直徑的商可能是有規律的。在我們所測量的這些圓中，每一個圓的周長都是它直徑的3倍多一些，是一個固定不變的數。

這個探究環節有點流于形式，學生按教師要求充當了一回“操作工”。筆者課后訪談發現，學生對圓周率的認識太膚淺、不深刻。單純地去觀察可能視而不見。觀察時，一是要有目標，處處留心;二是要有方法，觀察和歸納常常聯系在一起。歸納是一種對經驗、實驗觀察結果進行去粗取精、去偽存真的處理方法，我們要用歸納的方法厘清事實、概括經驗，從而形成概念，發現規律。

教師在教學中不妨通過以下語言引導學生繼續思考：“我們通過測量不同圓形物品的周長與直徑并計算它們的比值來尋找規律，在我們所測量的這些圓中，這些圓是不同的、變化的，圓的周長都是它直徑的3倍多一些。如果再換成其他的圓來測量或者計算的話，同學們還會發現，它們的周長還是它們直徑的3倍多一些。請用歸納推理的規則概括‘圓周長與直徑的關系?！睂W生通過測量不同圓形物品的周長與直徑并計算它們的比值，發現千變萬化的圓的周長與直徑的比是一個固定不變的數的規律，體會由具體到抽象、由特殊到一般的歸納方法，感悟歸納思想，積累了探索“變化中的不變”規律的經驗，凸顯了探索規律的教學價值。

【案例3】小學數學教材中的“哥德巴赫猜想”的文化價值和教育價值

1742年，德國數學家哥德巴赫在觀察自然數時，把大量的自然數拆成其他自然數之和，運用歸納推理的方法從一串等式——4=2+2，6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7，14=3+11……概括出一條規律：任一大于2的偶數都可寫成兩個質數之和。

教師在學生閱讀課本內容后通過名言啟發學生：高斯說，數學是科學的皇后，數論是數學這位皇后頭上的皇冠，哥德巴赫猜想就是皇冠上的明珠;牛頓說，沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發現，鼓勵學生學會用“歸納”去大膽地猜想，敢于用“歸納”去猜想。

哥德巴赫猜想一定正確嗎？我們不知道。哥德巴赫本人無法給予證明，就連大名鼎鼎的歐拉也無法給予證明。兩百七十多年來，包括我國著名數學家華羅庚、王元、陳景潤在內的世界上的一大批數學家付出了巨大的心血，仍不能證明該猜想的正確性，也不能找出否定它的反例。盡管如此，數學家們在解決這一難題的過程中創造及發現了許多嶄新的數學方法和數學理論，這些方法和理論的價值遠比哥德巴赫猜想本身要高。形成的新理論推動了數學的發展，甚至推動了科學的發展和社會的進步。教師可以借此鼓勵學生不畏難題、敢于探究。

二、“特殊到特殊”的類比推理

（一）類比推理概述

相傳有一次魯班進深山砍樹木時，一不小心，腳下一滑，手被一種野草的葉子劃破了，滲出血來，他摘下葉片輕輕一摸，原來葉子兩邊長著鋒利的齒，他用這些密密的小齒在手背上輕輕一劃，手背居然被割開了一道口子。他想，要是有這樣齒狀的工具，不就能很快地鋸斷樹木了嗎！于是，他經過多次試驗，終于發明了鋒利的鋸子，大大提高了工效。

筆者認為，魯班在發明鋸子的過程中的思路是這樣的：茅草是齒形的、茅草能割破手，需要一種能割斷木頭的工具，這種工具也可以是齒形的。事實上，這就是一個類比推理的過程。所謂類比推理，就是根據A與B兩個或兩類對象在某些屬性上相同或相似，已知A對象還有另外某種屬性，推出B對象也有這種屬性的推理，其規則用圖表示如圖5，用簡潔的語言表達是：對象A和對象B類似，因為對象A具有屬性d，所以對象B具有屬性d。

類比推理是從特殊到特殊的推理。運用類比推理，可以通過對一些類似現象、過程的對比分析，在看似互不關聯的偶然信息中發現規律性的必然。但是，類比推理得到的結論有可能是對的，也可能是錯的。例如，張老師和王老師都是湖南人，張老師愛吃辣椒，所以王老師也愛吃辣椒。在生活中，兩個前提是真的，但也許王老師不愛吃辣椒，我們類比推理出來的這個結論就可能是錯的。類比推理的一般步驟如圖6。

（二）類比推理在小學數學教學中的應用

在小學數學中，新知識一般是舊知識的延伸或組合，兩者之間必有很多共同屬性。新舊知識的共同點越多，越容易實現知識的遷移。在教學中，教師要努力揭示新舊知識之間的共同點，盡力創設類比情境，凡是學生能在已學的基礎上類推的，盡量引導他們自己類推出應學的新知識。

【案例1】探究圓周率的教學片段——“類比搭橋，問題鋪路”

教師在教學“圓周率”一課時，引導學生通過類比“正方形的周長與其邊長的比值恒等于4”探究圓周率，教學片段如下。

（媒體演示：在幾何畫板上作一個動態的正方形，拖動正方形的各個頂點，測量其周長、邊長，計算其周長與邊長的比值）

師：什么在變？（正方形的大小和位置都發生了變化）什么不變？（正方形的周長與邊長的比值沒有變化，它恒等于4）正方形千變萬化，但它的周長始終是它的邊長的4倍，從而得到正方形的周長公式為“正方形的周長=邊長×4”。

師：“變化中的不變性”就是規律，找到了這樣的規律，就能發現公式、法則、性質;尋找不變量不僅是數學研究的任務，也是科學研究和社會研究的任務;“變化中的不變”也是守恒，守恒是一種美麗，這節課我們也要去發現和欣賞這種數學之美。

師：現在我們的任務是尋求一個計算圓周長的方法。我們應該先研究什么問題？

生：我們要研究圓的周長與直徑是否存在這樣的倍數關系。這樣一來，我們知道直徑就可以計算出圓的周長，從而得到圓的周長公式。

【案例2】“新題舊解”

一名小學生向老師請教這樣一個問題：媽媽去商店買布，所帶的錢剛好能買花布2米或黃布3米，若打算兩種布都買同樣多的米數，最多能各買幾米？老師并沒有直接告訴他怎么做，而是要求他比較學過的工程問題：一項工程，甲隊單獨做要2個月，乙隊單獨做要3個月，兩隊合做要幾個月？學生發現原題與熟知的工程問題相似，從而求出了原問題的解，也學會了類比推理。

學生在解題過程中，可以找到一道與要解答的題目類似的原型題，通過觀察、比較、聯想、類比，用原型題的解題方法求解新問題。學生不再有“遇到生人就害怕”的感覺，反而覺得“舊壺裝新酒”。教師引導學生類比，有“隨風潛入，無聲潤物”的教學效果。再如，習題“工地運來長度分別為8米和5米的水管共25根，用它們一共鋪設了173米長的管道。運來兩種水管各多少根？”可以類比為8條腿的“怪兔”和5條腿的“怪雞”的“雞兔同籠”問題。“有一個掛鐘，每小時敲1次鐘，幾點鐘就敲幾下，鐘敲7下，6秒鐘敲完;鐘敲11下，幾秒敲完？”可與植樹問題進行類比：把鐘點數看作是一棵棵的樹，把敲的時間看作樹距，學生就能求出正確答案。

【案例3】矩形與長方體類比

人類認識的過程是由簡單發展到復雜的過程。小學生學習的幾何問題基本限制在平面上：先認識點、線，然后是由線段圍成的三角形、四邊形、正方形、長方形、梯形……在低維成立的理論是否可以推廣到高維呢？答案是：有些可以（要促進正遷移），如平面上的勾股定理就可以在立體幾何中找到類似的定理;有些不可以（要避免負遷移），如“平面上兩直線不平行就相交”在三維空間就不成立了。

在學習了二維的平面圖形后，教師可引導學生類比二維平面圖形與三維立體圖形的性質，進一步明確推理規則，培養學生的推理意識。以矩形與長方體的類比為例。矩形與長方體的幾何構造十分相似：矩形每相鄰兩邊互相垂直，長方體每相鄰兩面互相垂直，矩形可以看作長方體的高為零的特殊情況，長方體則可以看作是矩形沿著與其所在平面垂直的方向連續平移而形成的。幾何構造上的相似，使我們推想它們在幾何性質上也相似，見表2：

【案例4】圓柱體的體積公式的推導類比于圓的面積公式的推導

教師首先引導學生回憶圓的面積公式的推導：“我們先切，然后再拼一拼。先后把圓分成8等分、16等分……我們所拼得的這些圖形越來越近似平行四邊形。”“如果我們再切，這樣無限地切分下去，所拼得的圖形就慢慢地轉化成了長方形。轉化后長方形的長相當于圓的周長的一半，寬相當于圓的半徑。”于是，得出圓的面積公式：S=πr2。

接著，教師引導學生類比上述推導過程推導圓柱體的體積公式——先切，然后再拼一拼，我們所拼得的這些圖形越來越近似長方體，如果這樣無限地切分下去，所拼得的圖形就慢慢轉化成長方體了，于是得出圓柱體的體積公式為V=sh。

教師還可以引導學生：“長方體和圓柱體都是柱體，因為長方形的體積=底面積×高，所以圓柱體的體積=底面積×高，這樣類比是不是也有些道理呢？”讓學生自主思考，培養他們的類比思維。

三、合情推理的誤導

在數學的發現和探究過程中，合情推理確實讓我們獲得很多結論。但是合情推理得出的結論可能是對的，也可能是錯的，合情推理可能誤導我們，甚至一些數學大師也曾被“騙”。

數學家費馬聲望極高，他對數論、幾何、分析和概率都做過深入的研究，并有不少重大的發現。他曾研究形如Fn=[22][n]+1的數，發現當n=0，1，2，3，4時，有F0=3，F1=5，F2=17，F3=257，F4=65537都是質數，于是他歸納推理出一個猜想：一切自然數n，Fn=[22][n]+1都是質數。近百年后，著名數學家歐拉卻發現：F5=641×6700417并非質數，費馬的猜想是錯誤的。由此可見，歸納推理的結論不一定正確。

再例如，圖7來自美國小學數學課本：先畫個圓的外接正方形，然后按圖示把正方形轉化成圓的外接多邊形，認為外接多邊形會無限接近圓，于是外接多邊形的周長就和圓的周長相等了。結果求得π=4。它非?！邦愃啤眲⒒盏摹案顖A術”的逼近方法，為什么有不一樣的結果？

在圖7中，無論怎么分解，外接多邊形的周長是不變的，為圓外接正方形的周長。它不能無限逼近圓的周長，這就是錯誤的本質所在，它與割圓術有著本質的區別。

類比推理屬于合情推理，上面的做法就是一個未恰當使用類比推理的例子，在我們的日常生活中，如果只用類比推理來為結論提供支持，那么這個支持的力度通常會非常弱。類比推理，其實更多時候是起到一個說明的效果，讓大家更容易理解我們想表達的結論。我們可以用類比推理來啟發自己的思考、向他人通俗易懂地說明自己的想法，但最好不要用類比推理來支持自己的結論，也就是說：類比不是數學證明。我們還要通過演繹推理弄清合情推理得到的猜想的真偽。

尋找數學規律，即數學猜想，是數學研究的一種常用的科學方法，又是數學發展的一種重要的思維方式。引發猜想主要有兩種模式：“實驗（觀察）—歸納—猜想”和“聯想—類比—猜想”。教師學習和研究合情推理的規則和思維方法并將其滲透到數學教學之中，對激發學生學習數學的熱情，讓學生把握數學的本質及其發展規律，提高數學素養，有著重要的意義。

作者簡介：李織蘭（1967— ），女，漢族，廣西百色人，副研究館員，管理學學士，曾從事小學數學教學，現擔任桂林師范高等?？茖W校師范生教學技能實踐教學工作，研究方向：教育管理、數學教育、圖書館學研究。

（責編 劉小瑗）