小學生數學關鍵能力的內涵、要素與培養策略研究

洪亮 汪路霞

【摘 要】學生核心素養的培養最終要落實到學科核心素養的培育上。數學核心素養是指具有數學基本特征、能適應學生終身發展需要的思維品質與關鍵能力。數學關鍵能力主要包括數學抽象與表征能力、數學猜想與推理能力、數學理解與運算能力、數據收集與處理能力、數學直觀與想象能力、問題分析與解決能力等。在培養小學生的數學關鍵能力時，需要以數學基本思想為指引，以數學核心內容為載體，以數學理性思維培養為旨趣，以數學基本活動為途徑，以數學核心素養培育為目標。

【關鍵詞】學科核心素養；數學關鍵能力；培養策略

【中圖分類號】G623.5 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2019）09-0038-05

【作者簡介】1.洪亮，江蘇省蘇州工業園區星海小學（江蘇蘇州，215021）校長、黨總支書記，高級教師，蘇州市名校長，蘇州市數學學科帶頭人，蘇州市優秀教育工作者，江蘇省教育科研先進個人，全國十佳好校長；2.汪路霞，江蘇省蘇州工業園區星海小學（江蘇蘇州，215021）副校長，高級教師，蘇州市優秀工作者。

一、小學生數學關鍵能力的內涵與要素分析

1.數學抽象與表征能力。

數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程，主要包括從數量關系和空間圖形關系中抽取出數學概念及概念間的關系，或一般規律和結構，并用數學符號或術語予以表征。簡言之，數學抽象就是從現實世界進入數學內部，讓學生學會用數學的眼睛看世界。數學抽象在義務教育階段主要表現為符號意識和數感。史寧中教授也提出：數學抽象具有三個基本階段——簡約階段、符號階段和普適階段。

表征是認知心理學的基本概念，一般指信息的內部表達。南京師范大學鄧鑄教授等人認為：數學表征可以分為內部表征和外部表征兩類，內部表征又分為符號表征、方法表征和機理表征。有學者通過研究小學生的數學問題解決發現，小學生對數學問題的表征還處于以直觀的表面特征為主的低水平。

數學抽象與表征能力的內涵是相互關聯的，數學抽象過程中有數學表征的過程，而數學表征的過程就是數學抽象的過程。對于學生數學抽象和數學表征能力的理解，應當建立在科學的心理學分析基礎之上，應當從學生的心理發展規律來看待他們數學抽象和表征能力的培養，讓學生在抽象與表征的過程中學會數學抽象和數學表征。

2.數學猜想與推理能力。

數學猜想是指在學習數學或解決問題時展開的分析、嘗試和探索，是對涉及數學問題的主導思想、方法以及答案的形式、范圍、數值等的猜測。數學猜想也是一種數學思想方法，是人在探索數學規律和本質時采用的一種策略，是建立在事實和已有經驗基礎上的一種假定，是一種合理假設。

推理是由一個或幾個已知的判斷（前提）推導出一個未知結論的邏輯思維過程，是對判斷間的邏輯關系的認識。推理能力是相對穩定的個性心理特征的綜合，在推理活動中形成、體現與發展，并影響推理活動的效果。推理一般包括合情推理和演繹推理。小學階段的數學學習主要涉及合情推理。所謂合情推理，是從已有事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果。

猜想是推理的前奏。“猜想—驗證—猜想—驗證”這一反復的過程就是一種推理過程。猜想如果被驗證是正確的，那么結論自然產生；猜想如果被否定，那么再一次的猜想會因摒棄了首次猜想而離結論更近一步。因此，讓學生根據已有知識經驗感受知識間的聯系產生的猜想推動著他們數學推理能力的發展。

3.數學理解與運算能力。

數學理解具備學習能力的三個重要特征——過程性、默會性和層次性。學生不僅要理解概念、符號、命題等顯性的數學知識，還要體會數學中的思想，體會通過歸納得出猜想、通過抽象得出模式的過程。

運算能力是數學能力的核心要素，它的形成對小學生整體數學能力的培養與提升能起到基石性的作用。進一步分析學生理解算理、發現算法、通過運算解決問題等過程中的思維過程，可以發現，學生運算能力發展的過程中蘊含著抽象、推理、建模等數學基本思想，這能有效促進他們數學思維的發展。

4.數據收集與處理能力。

數據收集包括三個要素——有數據意識、能提出運用數據解決的問題與能根據問題的需要設計收集數據的計劃。

數據處理包含三個要素——能從數據中提取信息、能通過數據進行推斷與能根據背景選擇合適的方法。先要能從一堆雜亂無章的數據中提煉信息，進而運用信息進行決策、推斷，在此基礎上，根據問題背景選擇合適的方法，感悟統計學是通過數據來推斷數據產生的背景的，它對結果的判斷是好與壞。

5.數學直觀與想象能力。

在數學教學中，數學直觀通過實物直觀、符號直觀、圖形直觀等體現。伴隨數學直觀（幾何直觀）的教學，空間想象能力是數學教學中需要培養的基本能力之一，是數學教學中非常重要的課程目標。教學實踐表明，空間想象能力也是理解抽象的數學概念與原理所必需的能力，如圖形的周長、面積和運用畫圖的策略解決數學問題等。因此，探求空間想象能力的結構及其培養策略具有重要意義。

6.問題分析與解決能力。

作為義務教育的課程目標之一，問題解決重點要求培養學生分析和解決問題的能力，建構適合學生發展的問題解決能力結構。發現問題的能力是提出問題、分析問題以及解決問題能力發展的基礎和前提，提出問題和分析問題的能力是能力培養的關鍵，而解決問題能力的提高反過來又能促進其他能力的培養。

二、小學生數學關鍵能力的培養策略

1.以數學基本思想為指引。

對數學教學而言，其本質是促進學生思維的發展；對具體教學內容而言，其本質既表現為隱藏在客觀事物背后的數學知識、數學規律，又表現為隱藏在數學知識背后的本質屬性，還表現為統攝具體數學知識與技能的數學思想方法。教師只有正確理解知識，洞悉知識的意義內涵、來龍去脈、整體結構及其背后的思想，才能在教學中聚焦數學的本質。

如數學抽象既是一種能力也是一種思想，要讓學生在學習中逐步學會抽象的思維方式，需要我們引領他們經過層次化的思維過程。比如：教學蘇教版五下“圓”，教師可以先讓學生通過認識生活中圓形的物體（如自行車車輪、初升的太陽、田野中向日葵的臉龐等）形成圓的直觀形象，這就是直觀實物抽象。但接下來要深入認識圓的特征，就必須借助圓形紙片這一半符號化的學習工具來進行抽象化的思維。如此，學生就有了具體性的依托，在折一折、比一比、畫一畫、量一量等數學化的思維操作中，抽象思維得以順利開展與形成。數學抽象的本質，就是讓學生在親身經歷數學抽象的過程中接受數學抽象化的思維訓練，進而提升其數學抽象能力。我們應做到循序漸進，根據學生的年齡特征恰到好處地安排和使用這種階段性和層次化的過程，以期實現數學知識的邏輯順序和學生認知發展規律的高度協調與統一，在此基礎上，方能取得最佳的教學效果。

2.以數學核心內容為載體。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在闡述課程目標時，從原來的“雙基”擴展為“四基”，即基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。同時，在闡述課程設計思路時結合課程內容提出了十個核心概念，即數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創新意識。我們應當緊緊依托“四基”和上述核心概念展開數學教學。

比如：蘇教版六下“圓柱和圓錐特征的認識”的教學難點，是探索平面圖形和立體圖形之間的關系，培養學生的空間觀念。我們嘗試引導學生通過合作完成自主探索卡來突破這一難點。主要進行了這樣幾個環節的處理：（1）導入新課部分，出示幾個常見的平面圖形，讓學生猜想可能是從哪個立體圖形的某個角度觀察得到的，再把大家猜想到的長方體、正方體、圓柱和圓錐根據面的特點進行分類，使學生初步感知圓柱和圓錐是由曲面和平面圍成的幾何體，滲透平面圖形與立體圖形的聯系，讓學生知道立體圖形是由若干個面圍成的；（2）認識兩個形體的特征之后，要求學生自主畫出圓柱和圓錐的示意圖并進行反饋和點評，在這個過程中，學生進一步復習圓柱和圓錐的特征，尤其是進一步理解圓柱和圓錐的高的含義，并對其進行拓展，另一方面，畫出示意圖對學生今后解決有關體積和表面積的實際問題有幫助，有助于他們對圓柱和圓錐的概念進行再認識，但實際課堂上時間不夠，最后調整到課前學生預習時嘗試；（3）在鞏固練習中，創設想一想、轉一轉、滾一滾、堆一堆等活動，繼續完成自主探索卡。學生在想一想、轉一轉的活動中發現平面圖形與立體圖形之間的聯系，體會圓柱和圓錐可以這樣得到，在滾一滾的活動中自然發現兩種立體圖形滾動的軌跡和方式不同，滾過的面也不同，為其認識圓柱和圓錐的展開圖進而學習圓柱的表面積打下基礎。對于圓柱和圓錐的起始課，我們充分挖掘概念的教學資源，并羅列在自主探索卡上，讓學生合作學習，體會認識的樂趣，進行一般概念的自主學習，提升了學生初步的空間觀念。

3.以數學理性思維培養為旨趣。

我們知道，數學知識的產生與發展總是有其源和流的，在其內化抽象的過程中，必然會出現一系列“是什么”“為什么”“怎么做”的疑難困惑。這需要我們理性地追問：隱藏在客觀事物背后的規律是什么？統攝具體數學知識與技能的數學思想方法是什么？用辨析的眼光了解和分析數學本質的源和流，構建活的數學知識結構，對學生而言將具有特殊的作用和意義。

教學蘇教版五下“分數的基本性質”之前，很多學生已經知道了分子分母的變化規律。這是否就意味著本課的學習可以脫離直觀材料的支撐了呢？顯然不是。對分數基本性質的認識是一種歸納推理的思維活動。如果選取的材料過于陳舊或理性，往往會使學生缺乏主動思維的欲望。執教時，筆者以“分西瓜”的故事引發學生進行數學思考：能不能用分數的眼光來觀察兩次分西瓜的過程，有什么新的發現？用什么方法來證明這些分數確實相等呢？在學生提出折紙、化成小數、根據商不變的規律類推等多種驗證方法后，我們首先展示直觀的涂色驗證，不僅為學生其他較為抽象的展示提供佐證，更重要的是讓學生感悟到直觀的局限性，促發他們開展更為理性的推理活動，實現數學思維從感性向理性的第一次飛躍。因此，數學教學應該是思維的教學，逐步引導學生養成理性思維的習慣，培養其數學的理性精神。

4.以數學基本活動為途徑。

蘇霍姆林斯基曾說：“當知識與積極的活動緊密聯系在一起的時候，學習才能成為孩子精神生活的一部分。”在數學教育中，活動始終貫穿其中，是激發學生學習興趣的常規方式，是學生探索規律、掌握知識的重要過程，更是發展學生數學核心素養的必要條件。

如培養學生的數據分析與處理能力，教師要想讓學生真正地感知數據、親近數據，最好的辦法就是讓他們親歷數據的收集、整理、描述、分析以及做出決策的全過程，在親歷中感受數據價值、了解數據收集和處理方法，并樂于用數據來解決問題。例如：教學蘇教版五下“折線統計圖”，課堂上不是直接呈現或者教學折線統計圖怎么畫，而是創設情境：學校旁邊的服裝店每年4 ～ 10月都會代銷泳衣，為了避免貨物積壓，供貨商每次送貨前都會打電話問店主：上個月銷售了多少？這個月要再多送還是少送一些？大概送多少？如果你是供貨商，為了方便，你打算怎么辦？啟發學生進行思考交流，制訂解題計劃：統計一下服裝店去年每個月的銷售數據作為參考。學生提出：或以供貨商的角色，到服裝店實地詢問；或查資料，收集去年各月的銷售數據。并用自己的方式表示數據變化，有人用手勢比劃，有人畫出條形圖，有人則畫出曲線圖。通過比較，大家認為畫曲線圖比較好，最后進一步細化曲線：這條曲線前半段從下到上逐步升高表示什么？后半段從上到下逐步降低又表示什么呢？在這個過程中，學生經歷了提出問題、制訂計劃、收集數據、選擇合適方法描述數據以及作出推斷、解決問題的全過程。學生更深刻地感受到如何收集、處理數據，感悟到數據從哪里來、其中藏著什么秘密、是做什么用的以及對我們有怎樣的幫助，這些感悟是聽多少遍教師的講解都難以得到的。

5.以數學核心素養培育為目標。

教學目標是教學活動的起點和終點，制定恰當的教學目標是教師開展教學的重要前提。通過前面的敘述，我們已經明確了數學核心素養對于學生的重要性，因此，我們必須基于培養學生數學核心素養的目標來設計教學活動，站在促進學生發展的角度來開展數學活動，用核心素養來統領整個教學活動。

培養創造性思維能力已經成為我們培育核心素養的一個重要焦點。創造性思維表現在創造性解決問題過程中思維的新與活。新，要求在理解中有自己的感受，有獨立的見解。活，要求在思考問題時思維要活，善于變換角度靈活地思考。例如：在教學蘇教版三下《兩位數乘兩位數（筆算）》一課時，教師先出示24×12，讓學生仔細觀察，這樣的乘法算式具有怎樣的特點？（不含整十數的兩位數乘兩位數）很顯然，比剛才遇到的都要復雜。學生嘗試計算，同桌合作研究，交流匯報：方法一，用加法算，12個24相加；方法二，用連乘算，24×2×6；方法三，拆分成24×2+24×10；方法四，拆分成4×2+20×2+4×10+20×10。引導學生比較：哪種方法既簡便又通用？學生在比較中知道了拆分也不是拆得越細越好。相對而言，方法三比較折中。上述教學著重調動學生原有的知識經驗，通過數據的拆分將新知變為舊知，進而探究出24×12的多種運算思路。這樣的探索經歷，有助于學生認識到同一個問題可以有多種不同的解決方法，培養學生的開放性思維。同時，對按照數位進行拆分這一方法適當強化，為接下來的豎式計算做好準備。

總之，在小學數學教學中培育學生的數學關鍵能力，是對素質教育理念的積極響應和具體落實，也是深化數學課堂教學的必然要求。基于核心素養培育目標的小學數學教學，應當始終站在學生未來發展的視角，以數學基本思想為指引，以數學核心內容為載體，以數學理性思維培養為旨趣，以數學基本活動為途徑，以數學核心素養培育為目標。

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注：本文獲2018年江蘇省“教海探航”征文競賽一等獎，有刪改。