用Python實現割圓術算法

刁乾坤

【摘要】 圓周率是人類獲得的最古老的數學概念之一.3世紀中期，魏晉時期的數學家劉徽[1]首創割圓術，為計算圓周率建立了嚴密的理論和完善的算法，所謂割圓術，就是不斷倍增圓內接正多邊形的邊數求出圓周率的方法.本文將通過Python語言，在JUPYTER NOTEBOOK中實現割圓術算法.

【關鍵詞】 圓周率;割圓術;算法

主要儀器設備JUPYTER NOTEBOOK PYTHON 3.

設半徑為1的圓的邊數為6·2n的內接正多邊形邊長為an，如圖所示，其中，AC= an 2 ，AD=a2n，OD=1，OC= 1-? an 2? 2 ，AD2=AC2+CD2=AC2+（OD-OC）2，

則a2n=?? an 2? 2+ 1- 1-? an 2? 2? 2 = 2- 4-a2n? .

相應的△AOD面積為：Sn+1= 1 2 OD·AC.

所以，π≈6·2n+1·Sn+1，

程序代碼

import numpy as np

def liuhui（n）：

a=np.zeros（n+2）

a[0]=1

for k in range（n+1）：

a[k+1]=np.sqrt（2-np.sqrt（4-a[k]**2））

return（print（′圓的內接正6*2^n邊形的邊長為：′，a[n]），print（′圓周率的近似值為：′，3*2**n*a[n]））

Python中π的參考值為3.141592653589793.

運算結果為：

n 正多邊形邊長 正多邊形邊數 圓周率近似值

0 1.0 6 3.0

1 0.517638090205 12 3.10582854123

2 0.26105238444 24 3.13262861328

3 0.13080625846 48 3.13935020305

4（劉徽） 0.0654381656436 96 3.14103195089

5 0.032723463253 192 3.14145247229

6 0.0163622792079 384 3.14155760791

7 0.00818120805247 768 3.14158389215

8 0.00409061258234 1536 3.14159046324

9 0.00204530736071 3072 3.14159210604

10 0.00102265381399 6144 3.14159251659

11（祖沖之） 0.000511326923607 12288 3.14159261864

12 0.000255663463975 24576 3.14159264532

13 0.000127831731987 49152 3.14159264532

結果分析：劉徽利用正96邊形算得圓周率小數點后3位精確數字;祖沖之利用正12288邊形算得圓周率小數點后7位精確數字.在數學上，祖沖之推算出圓周率的真值應該介于3.1415926和3.1415927之間，比歐洲要早一千多年.

【參考文獻】

[1]郭書春.中國古代數學[M].北京：商務印書館，1997：164.