三元生成的且A2群所含內交換子群的個數

李偉

【摘要】 利用A2群的分類[6]給出了三元生成的且所含交換極大子群小于等于1的A2群所含A1子群的個數.

【關鍵詞】 p群;A2群;A1子群的個數;交換極大子群個數

主要結果? 若G是三元生成的且所含交換極大子群小于等于1的A2群，則G中A1子群的個數有下列情況.

若G′≌C2p，則α1（G）=p2+p;

若G′≌C3p，則α1（G）=p2+p+1;

預備知識? 下面介紹一些本文要用到的基本概念和一些已知結果.

引理1 [3] 設G是有限p群，則Φ（G）=G′Ψ1（G），且 G Φ（G） 是初等交換p群，并且若? G Φ（G）? =pd，則G的每個最小生成系恰含d個元素，并且 G Φ（G） 中的元素x都至少屬于一個最小生成系.

引理2 [1] 設G=〈x1，x2，…，xn〉是非交換p群且d（G）=n，則G的極大子群分別是：

（1）M=〈Φ（G），x2，…，xn〉;

（2）Mi1=〈Φ（G），x1xi12，x3，…，xn〉;

（3）Mi1i2=〈Φ（G），x1xi13，x2xi23，x4，…，xn〉;

…

（n）Mi1i2…in-1=〈Φ（G），x1xi1n，x2xi2n，…，xn-1xin-1n〉，其中，ij=0，1，…，p-1.j=1，2，…，n-1.

引理3 [7] 若G是非交換p群，則G中交換極大子群的個數是0，1或p+1個.

引理4 [6] G是三元生成的A2群當且僅當G為一下互不同構的群之一：

（一）d（G）=3，G′≌C2p，G有唯一的交換極大子群.

（1）〈a，b，c|a4=b4=1，c2=a2b2，[a，b]=b2，[c，a]=a2，[c，b]=1〉.

（2）〈a，b，d|apm=bp2=dp=1，[a，b]=apm-1，[d，a]=bp，[d，b]=1〉，其中m≥2.特別地，若p=2，則m≥3.

（3）〈a，b，d|apm=bp2=dp2=1，[a，b]=dp，[d，a]=bjp，[d，b]=1〉，其中p>2，j，-4j）2.

（4）〈a，b，d|apm=bp2=dp2=1，[a，b]=dp，[d，a]=bjpdp，[d，b]=1〉，若p>2，則4j≡1-ρ2r+1（modp），其中1≤r≤ p-1 2 ，ρ是模p原根中的最小正整數;若p=2，則j=1.

（二）d（G）=3，G′≌C3p，G沒有交換極大子群.

（5）〈a，b，d|a4=b4=d4=1，[a，b]=d2，[d，a]=b2d2，[d，b]=a2b2，[a2，b]=[b2，a]=1〉，其中p>2，j，-4j）2.

下面分別計算A2群中A1子群的個數.

定理1? 設G是A2群且d（G）=3.若G′≌C2p，則α1（G）=p2+p.

證明? 由假設條件可知，G是引理中（1）-（4）型群之一.下面分別進行計算.

若G是（1）型群，經計算可得Z（G）=φ（G）=〈a2，b2〉，由于d（G）=3，于是G的極大子群為：M=〈φ（G），b，c〉，Mi=〈ι（G），abi，x〉和Mij=〈φ（G），axi，bcj〉，其中i，j=0，1.若M=〈φ（G），b，c〉，則由于[b，c]=1，φ（G）=Z（G），于是M∈A0;若Mi=〈φ（G），abi，c〉，則由于G是A2群且[abi，c]=a2≠1，于是Mi∈A1;若Mij=〈φ（G），aci，bcj〉，則由于G是A2群且[aci，bcj]=b2a2j≠1，于是Mij∈A1，所以α1（G）=p2+p.

若G是（2）型群，經計算可得Z（G）=φ（G）=〈ap，bp〉，由于d（G）=3，于是G的極大子群為：M=〈φ（G），b，d〉，Mi=〈φ（G），abi，d〉和Mij=〈φ（G），adi，bdj〉，其中0≤i，j≤p-1.若M=〈φ（G），b，d〉，則由于[b，d]=1，φ（G）=Z（G），于是M∈A0;若Mi=〈φ（G），abi，d〉，則由于G是A2群且[abi，d]=b-p≠1，于是Mi∈A1;若Mij=〈φ（G），adi，bdj〉，則由于G是A2群且[adi，bdj]=b-jpapm-1≠1，于是Mij∈A1，所以α1（G）=p2+p.

若G是（3）型群，經計算可得Z（G）=φ（G）=〈ap，bp，dp〉，由于d（G）=3，故G的極大子群為：M=〈φ（G），b，d〉，Mi=〈φ（G），abi，d〉和Mij=〈φ（G），adi，bdj〉，其中0≤i，j≤p-1.若M=〈φ（G），b，d〉，則由于[b，d]=1，φ（G）=Z（G），于是M∈A0;若Mi=〈φ（G），abi，d〉，則由于G是A2群且（j，p）=1，于是[abi，d]=b-jp≠1，于是Mi∈A1;若Mij=〈φ（G），adi，bdj〉，則由于G是A2群且[adi，bdj]=dpb-j2p≠1，于是Mij∈A1，所以α1（G）=p2+p.

若G是（4）型群，經計算可得Z（G）=φ（G）=〈ap，bp，dp〉，由于d（G）=3，于是G的極大子群為：M=〈φ（G），b，d〉，Mi=〈φ（G），abi，d〉和Mij=〈φ（G），adi，bdj〉 ，其中0≤i，j≤p-1.若M=〈φ（G），b，d〉，則由于[b，d]=1， φ（G）=?Z（G），于是M∈A0;若Mi=〈φ（G），abi，d〉，則由于G是A2群且[abi，d]=b-jpdp≠1，于是Mi∈A1;若Mij=〈φ（G），adi，bdj〉，則由于G是A2群且（j，p）=1，于是[adi，bdj]=d（1-j）pb-j2p≠1，于是Mij∈A1，所以α1（G）=p2+p.

綜上所述，若G是A2群，d（G）=3.若G′≌C2p，則α1（G）=p2+p.

定理2? 設G是A2群且d（G）=3.若G′≌C3p，則α1（G）=p2+p+1.

證明? 由假設條件可知，G是引理中（5）型群.經計算可得Z（G）=φ（G）=〈a2，b2，d2〉，由于d（G）=3，于是G的極大子群為：M=〈φ（G），b，d〉，Mi=〈φ（G），abi，d〉，和Mij=〈φ（G），adi，bdj〉.其中i，j=0，1.若M=〈φ（G），b，d〉，則由于G是A2群且[d，b]=a2b2≠1，于是M∈A1;若Mi=〈φ（G），abi，d〉，則由于G是A2群且[abi，d]=a2ib2（1+i）d2≠1，于是Mi∈A1;若Mij=〈φ（G），adi，bdj〉，則由于G是A2群且[adi，bdj]=a2ib2（i+j）d2（1+j）≠1，于是Mij∈A1，所以α1（G）=7.

綜上所述，若G是A2群，d（G）=3.若G′≌C3p，則α1（G）=p2+p+1.

【參考文獻】

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