分離法解決幾何問題

劉東莉

【摘要】 在平面幾何的學(xué)習(xí)中，幾個(gè)基本圖形就可以組合成一個(gè)復(fù)雜圖形.反之，要在一個(gè)復(fù)雜圖形中進(jìn)行推理論證，我們往往可以把它分離成幾個(gè)基本圖形，采用各個(gè)擊破的方法，這樣就可以使復(fù)雜問題簡單化.

【關(guān)鍵詞】 分情況;復(fù)雜圖形;分離;抽取;基本圖形

在平面幾何的學(xué)習(xí)中，幾個(gè)基本圖形就可以組合成一個(gè)復(fù)雜圖形.反之，要在一個(gè)復(fù)雜圖形中進(jìn)行推理論證，我們往往可以把它分離成幾個(gè)基本圖形，采用各個(gè)擊破的方法，這樣就可以使復(fù)雜問題簡單化.這種“分離法解決幾何問題”是一種行之有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，下面我們舉例來說明這種方法.

例1?? 如圖1所示，已知AB∥CD，你可以得出哪些結(jié)論？并加以證明.

分析? 這是一道開放性題目，圖形比較復(fù)雜，到底能得出哪些結(jié)論學(xué)生會(huì)比較困惑，在AB∥CD這種情況下，我們把它分成五種情況，根據(jù)這五種情況可分離出五種圖形，如圖所示：

（1）以AD為截線如圖2所示，則可得出∠DAB+∠ADC=180°;

（2） 以AE為截線如圖3所示，則可得出∠EAB+∠AEC= 180°或∠DEA=∠EAB;

（3） 以AC為截線如圖4所示，則可得出∠DCA=∠CAB;

（4）以CF為截線如圖5所示，則可得出∠DCF+∠CFA=180°或∠DCF=∠CFB;

（5）以CB為截線如圖6所示，則可得出∠DCB+∠CBA=180°.

? 例2?? 證明：兩平行直線被第三條直線所截，同位角相等.

已知：如圖7所示，直線AB∥CD，∠1和∠2是直線AB、CD被直線EF截出的同位角.

求證：∠1=∠2.

教材中應(yīng)用了反證法.證明如下：

證明? 如圖8所示，假設(shè)∠1≠∠2，那么我們可以過點(diǎn)M做直線GH，使∠EMH=∠2，

根據(jù)同位角相等，兩直線平行，可得到GH∥CD.

又因?yàn)锳B∥CD，這樣經(jīng)過點(diǎn)M存在兩條直線AB和GH都與直線CD平行.

這與“過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行”這個(gè)基本事實(shí)相矛盾.

這說明假設(shè)∠1≠∠2是不成立的，所以∠1=∠2.

分析? 此題用反證法學(xué)生普遍感到比較難理解的原因在于：其一反證法學(xué)生第一次接觸，前面沒有相應(yīng)的基礎(chǔ)，無從入手;其二圖8是兩個(gè)圖形糅合在了一起，圖形復(fù)雜，使學(xué)生看起來眼花繚亂，就更談不上證明思路了;其三明明是AB和GH都和CD平行，而給我們的視覺感受GH又明顯不與CD平行.基于以上三點(diǎn)給學(xué)生造成了很大的困擾，為解決這個(gè)難題筆者采用的辦法是“分離法”，將圖8分離成兩個(gè)圖形圖9和圖10.

對(duì)于圖9假設(shè)∠1≠∠2，但已知直線AB∥CD.

對(duì)于圖10既然∠1≠∠2，我們可以過點(diǎn)M做直線GH，使∠EMH=∠2，根據(jù)同位角相等，兩直線平行，可得到GH∥CD.

由圖9和圖10兩個(gè)圖形我們可以清楚地看到經(jīng)過點(diǎn)M存在兩條直線AB和GH都與直線CD平行.

這與“過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行”這個(gè)基本事實(shí)相矛盾.

這說明假設(shè)∠1≠∠2是不成立的，所以∠1=∠2.

例3?? 如圖11所示，矩形ABOC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，5），D是OB的中點(diǎn)，E是OC上一點(diǎn)，當(dāng)△ADE的周長最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

?分析? 此題難度很大，首先需要確定點(diǎn)E的位置，如圖11所示，在△ADE中，AD的長度固定要使周長最短只需AE+ED最短.

圖11中E點(diǎn)的位置不固定，我們無法解決問題，為此我采用的方法仍然是“分離法”從圖11中抽取出了圖12，在圖12中已知兩點(diǎn)A，B在y軸上找一點(diǎn)E使AE+ED最短.這樣就從復(fù)雜圖形中抽取出了學(xué)生非常熟悉也非常容易解決的基本圖形——兩點(diǎn)一線，求距離之和最短問題.

解題思路如圖13所示，作A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′D交y軸于點(diǎn)E，則點(diǎn)E就是所求作的點(diǎn).用待定系數(shù)法求出A′D的表達(dá)式，再求出與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可.

以上筆者從三個(gè)實(shí)例入手解析了分離法在解決平面幾何問題中的優(yōu)越性，希望對(duì)廣大師生有所幫助.