挖掘條件 感受多解

張前 楊和奎

【摘要】 一題多解可以使學生從多角度、多途徑地去分析問題，從而解決問題;靈活運用已有的知識技能，找出盡可能新穎、盡可能多的、盡可能好的解題方法，從而達到幫助學生總結解題規律，融會貫通所學知識，發展學生的邏輯思維能力和綜合思考能力，最終解決問題.

【關鍵詞】 分式求值;一題多解

例? 已知 1 a - 1 b =3，求 5a+3ab-5b a-2ab-b 的值.

解法1? 利用分式的基本性質

分析? 認真審題，仔細分析，根據已知條件 1 a - 1 b =3得：a≠0且b≠0，可以考慮利用分式的基本性質，將待求式 5a+3ab-5b a-2ab-b 分子、分母同時除以ab，再用因式分解，從而出現“ 1 a - 1 b ”的形式.

解? 由題意得：a≠0且b≠0.將待求式 5a+3ab-5b a-2ab-b 分子、分母同時除以ab得：

5a+3ab-5b a-2ab-b =? 5a+3ab-5b ab?? a-2ab-b ab

=? 5 b +3- 5 a?? 1 b -2- 1 a? = -5? 1 a - 1 b? +3 -? 1 a - 1 b? -2 .

∵ 1 a - 1 b =3，

∴原式= -5×3+3 -5-2 = 12 7 .

解法2? 利用整體帶代入思想

分析? 認真審題，仔細分析，根據已知條件 1 a - 1 b =3得：a≠0且b≠0，由 1 a - 1 b =3通過通分得： b-a ab =3，則b-a=3ab，而a-b與b-a互為相反數，可得：a-b=-3ab，再將待求式通過因式分解，從而出現“a-b”的形式，最后代入，得出待求式的值.

解? 由題意得：a≠0且b≠0.

∵ 1 a - 1 b =3，

∴ b-a ab =3，

∴b-a=3ab，

∴a-b=-3ab，

∴ 5a+3ab-5b a-2ab-b

= 5（a-b）+3ab （a-b）-2ab

= 5×（-3ab）+3ab -3ab-2ab = 12 5 .

解法3? 化歸代入

分析? 認真審題，仔細分析，將已知條件 1 a - 1 b =3進行通分、變形得到：a= b 3b+1 .再將待求式中的a全部換成 b 3b+1 ，從而待求式中就是全部含有字母b的式子，最后便于計算，得出所求的值.

解? 由題意得：a≠0且b≠0.

∵ 1 a - 1 b =3，

∴ 1 a =3+ 1 b ，

∴a= b 3b+1 ，

= 5b+3b2-15b2-5b b-2b2-3b2-b = -12b2 -5b2 = 12 5 ，

= 5b+3b2-15b2-5b b-2b2-3b2-b = -12b2 -5b2 = 12 5 .

解法4? 賦值法

分析? 認真審題，仔細分析，此題的結果是一個定值，根據已知條件 1 a - 1 b =3的結構特征，可以令 1 a =4， 1 b =1，則a= 1 4 ，b=1.故可以采用賦值法對待求式進行求解.

解? 由題意得：a≠0且b≠0.

令 1 a =4， 1 b =1，則a= 1 4 ，b=1.

∴ 5a+3ab-5b a-2ab-b

= 5× 1 4 +3× 1 4 ×1-5×1? 1 4 -2× 1 4 ×1-1

= -3 - 5 4? = 12 5 .