兩角和差正切公式變形應用

金鑫 王麗杰

一、公式變形的過程

在實戰中兩角的正切公式幾乎是都需要變形，對于公式：tan（α+β）= tanα+tanβ 1-tanα·tanβ .

我們把tanα，tanβ，tan（α+β）這三個量看成三個不同的箱子，我們用三個符號來表示這三個箱子，分別是△，□，○，

代入公式中得到：○= △+□ 1-△·□ .

這樣我們的公式經過整理就變成：○=[△+□]+○·△·□.

接下來我們從下面三個方面介紹這個變形公式.

二、從例題中看效果

例1?? 已知tanB+tanC+ 3 tanB·tanC= 3 ，求tan（B+C）.

本題直接與變形后的公式對照即可得出答案是 3 .

例2?? 計算tan23°+tan37°+ 3 tan23°·tan37°.

本題依舊是直接與公式進行對照可直接得出答案 3 .

例3?? 已知tanα+tanβ=2，tan（α+β）=4，求tanα·tanβ.

直接代入到變形公式即可.

例4?? 已知tan28°·tan32°=m，求tan28°+tan32°.

直接代入到變形公式即可.

例5?? tanα和tan? π 4 -α 是方程ax2+bx+c=0的兩個根，求系數間的關系.

通過韋達定理可以用系數表示兩根乘積和兩根和，利用變形公式即可解決系數關系.

例6?? 在△ABC中，已知tanA，tanB是方程3x2+8x-1=0的兩個根，求tanC.

方法同上，但是需要注意tan（A+B）=-tanC.

例7?? 已知 3 tanA+ 3 tanB+1=tanA·tanB，求 tan（A+B）.

首先把系數提出來 3 （tanA+tanB）+1=tanA·tanB，

然后開始變形，變成與變形公式一致

1=- 3 （tanA+tanB）+tanA·tanB.

重點分析：這里變形時一定要注意后面那個加號，那里必須是加號.

最后一步把和的系數消除掉，這樣每一項都除以- 3 .

結果也就呼之欲出了，tan（A+B）=-? 3? 3 .

例8?? 已知α，β均為銳角，tanα= 3 （1+m）， 3 （tanα·tanβ+m）+tanβ=0，求α+β.

tanα= 3 + 3 m，

3 tanα·tanβ+ 3 m+tanβ=0，

兩個等式左右對應相加得到：

3 tanα·tanβ+tanα+tanβ= 3 ，

可直接應用變形公式觀察得到tan（α+β）= 3 ，

因為α，β均為銳角，所以α+β∈（0，π），值為 3 ，

所以α+β= π 3 .

三、兩角差變形的注意事項

○=[△+□]+○·△·□.

○=[△-□]-○·△·□.

通過對兩個變形公式的對比發現右側符號一致，這里筆者推薦各位讀者先熟練掌握兩角和，然后再掌握兩角差，對于符號的問題非常好解決，只有關注中括號里面是和還是差就可以判斷后面的符號情況了.

四、設計構思

變形公式具備著原始公式無法超越的速度，雖然只是簡單的變形，但是做題速度和準確率都大大提高，這點通過上面的習題，相信讀者已經感受到了.

那么為什么這個變形公式的效果這么好，原因就在于出題者對題目結構的建立，必須要處理本來是相除的原始公式，可以說這是必需的環節，而且還要移項，再進行最終的賦值，或者是引入方程等.

而變形公式直接找到了題目結構的入口，可以說很多同學不會完全是因為沒有找到入口.

希望各位讀者可以把這種想法利用在別的題目上，小小的兩個操作改變了公式，但是卻加大了解題的速度，找到了題目的入口.