幾道上海高考題引發的思考

杜忠輝

【摘要】 梳理近幾年上海高考題，筆者發現不定方程問題常常出現，問題主要是通過函數、三角函數、統計等形式來呈現，本質上是考查變量及函數的最值，借助極端原理，將不定方程轉化為一元不等式求解，將多元化歸到一元.不定方程求解方法很多，極端思想只是其中一種，最后筆者探究和歸納了一類極端原理可求解的不定方程.

【關鍵詞】 上海高考題;不定方程;極端原理

一、題 目

題1? （2017年上海秋考數學11題）設α1，α2∈ R ，且 1 2+sinα1 + 1 2+sin2α2 =2，則|10π-α1-α2|的最小值等于 .

題2? （2015上海高考理13題）已知函數f（x）=sinx，若存在x1，x2，…，xm滿足0≤x1<x2<…<xm≤6π，且 |f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f（xm-1）-f（xm）|= 12（m≥2，m∈ N *），則m的最小值為 .

題3? （2014高考數學上海卷）某游戲的得分為1，2，3，4，5，隨機變量ξ表示小白玩該游戲的得分.若E（ξ）=4.2，則小白得5分的概率至少為 .

二、背景及解析

前兩道題以三角函數為載體考查不定方程求解或求相應變量最值問題.具體求解如下：

題1? 由-1≤sinα1≤1，-1≤sin2α2≤1，

可得 1 3 ≤ 1 sinα1+2 ≤1， 1 3 ≤ 1 sin2α2+2 ≤1，

故 2 3 ≤ 1 sinα1+2 + 1 sin2α2+2 ≤2，

又已知 1 2+sinα1 + 1 2+sin2α2 =2，

可得sinα1=1，sin2α2=1.

于是α1= π 2 +2kπ，2α2= π 2 +2mπ（m，k∈ Z ），

所以α1+α2= 3π 4 +2kπ+mπ（m，k∈ Z ），

α1+α2= 3π 4 +tπ（t∈ Z ），

則|10π-α1-α2|=? π 4 +（9-t）π ≥ π 4 .

題2? 由|f（x）-f（y）|≤|f（x）max-f（x）min|=|f（x）min- f（x）max|=2，可知

|f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f（xm-1）-f（xm）|≤2（m-1），于是12≤2（m-1），

即m-1≥6，至多6個2，然而，結合正弦函數圖像相鄰最值點最多5組，最多5×2=10，再添2個端點，一共8個點，故m的最小值為8.如下圖：

這兩個不定方程問題，解法都是抓住三角函數最值，將不定方程轉化為不等式問題，這其實是極端原理思想的應用.

一般地，把直接抓住全體對象中的極端情形或它們所具有的某種極端性質加以研究、解決問題的思想方法稱為極端原理.特別地，代數變量或函數的極端情形就是最大或最小值.

題3? 由已知得 1·P1+2·P2+…+5·P5=4.2，P1+P2+…+P5=1，

這是一個多元不定方程組，消去P4本質上是一個多元不定方程

1P1+2P2+3P3+4（1-P1-P2-P3-P5）+5P5=4.2，

即（P5-0.2）-3P1-2P2-P3=0，這里0≤Pi≤1，i=1，2，3，5，

所以P5-0.2=3P1+2P2+P3≥（3P1+2P2+P3）min=0，當且僅當P1=0，P2=0，P3=0時取等號，故P5≥0.2.

那極端原理能不能解決一類不定方程呢？解決哪一類？下面筆者進行了探究和歸納.

三、極端原理可求解一類不定方程

多元不定方程f（x1，x2，x3，…，xn）=0，x1∈D1，x2∈D2，…，xn∈Dn可分解為f1（x1）+f2（x2）+…+fn（xn）=0型，且f2（x2），f3（x3），…，fn（xn）有界，求變量x1的最值.

記Mi=max{fi（xi）}或sup{fi（xi）}，i=2，3，…，n為函數fi（xi）的最大值或者上確界;

mi=min{fi（xi）}或inf{fi（xi）}，i=2，3，…，n為函數fi（xi）最小值或下確界.

根據mi≤fi（xi）≤Mi，可得 f1（x1）+∑ n i=2 mi≤0，f1（x1）+∑ n i=2 Mi≥0，

即-∑ n i=2 Mi≤f1（x1）≤-∑ n i=2 mi，

從而求解出主元x1的取值范圍.

【參考文獻】

[1]方先進，程國元.例說極端化原理在解題中的運用[J].數學教學研究，2006（1）：32-34.

[2]張棟平.例說極端性原理的應用[J].中學數學研究，2004（3）：38-39.

淺談高中數學的解題技巧

淺談高中數學的解題技巧

◎王湛茹 （本溪市高級中學，遼寧 本溪 117000）

【摘要】 高中數學同初中數學相比，除了知識點內容更加復雜以外，題目類型的多種多樣也是一大難點.因此，要想學好高中數學，會解題是基礎.另一方面，做題除了多做，掌握不同種類的題型外，還要善于思考，對各種題型以及題目考查的內容和側重方向進行深入的分析，并注意領會和總結.筆者在高中學習中，數學一直是筆者的強項，筆者認為造成數學成績差距的主要原因就是在學習過程中的總結和歸納.下面筆者簡單談一談自己學習數學的心得體會.

【關鍵詞】 數學;解題技巧;高中

一、高中數學的特點

（一）高中知識的特點

（1）高中知識面更加廣泛.在升入高中之后，數學在知識的內容涵蓋的范圍更加廣泛.高中數學的試題量也越來越大.而許多試題考查的知識點在課堂上并沒有學到，這一部分知識主要是通過做卷子來獲得.（2）知識的針對性變強.高中數學的另個特點就是知識考查更加具有針對性，同初中數學“泛泛而考”有所不同，高中數學在考試時會針對性的考查學生對固定幾個知識點的掌握情況，因此，除了要具備基本的邏輯推理和計算能力外，知識點掌握情況也是高中數學考查的另一個重點.另一方面，高中數學的專業詞匯也越來越多高中數學綜合了符號語言、邏輯運算語言、函數語言、圖形語言等內容.抽象化程度大大提高.（4）更加注重考查解題思路.高中數學解題思維與初中不大相同.① 形成初中階段在數學學習中習慣用一些固定的解題模式，而高中數學在解題時，很多時候需要變換解題思路才能解題.

（二）高中數學試題的考查點

從筆者自身的角度來看，高中數學在解題上更加側重于考查學生的解題思路，筆者在解題過程中經常會遇到一題多解的情況，很多時候一道題可以代數法解，用幾何方法也能解，這些解題方法的區別在于解題花費的時間以及解題的出錯率.有些題目用某種解題方法就會非常耗時耗力，而且容易出錯，而用另一種算法就“省時省力”，而且不容易出錯.也就是說，高中數學試題的考查點主要放在對學生使用哪種解題方法上，選擇解題方法也占據了高中數學解題中的很大一部分內容.

（三）高中數學同初中數學的區別

筆者在剛升入高中的時候成績不是很理想，在初中上學時筆者的數學成績還是很優秀的.筆者分析了下原因，發現自己是由于缺乏對高中數學特點的了解，高中數學的基礎沒有打牢，起步沒有開好頭，數學成績總是墊底，然后再怎么努力學習都沒有多大的提升.針對這個情況，筆者進行深入的反思，發現是自己的學習方法出了問題，筆者把高中數學的學習方法總結為幾個詞語：分析，邏輯，總結.② 這三個關鍵詞也是筆者認為在升入高中后需要堅持的學習方法.

二、高中數學的解題技巧

（一）善于總結解題方法

高中的試題量非常大，在做題中總結題型，并對解題思路和解題方法進行歸納對學好高中數學有很大的作用，只有掌握數學的思想，靈活的運用各種解題方法，才能達到輕 松學習，快速準確解題的效果.以下是幾種常用到的解題思路：

（1）換元思想.換元思想是數學解題中的一個重要思想.要想把高中數學題解的又快、準確率又高，就要善于找到數學題中的規律，其中換元思想是一個經常可以用到的解題思路.其具體的方法是：找到式子中的可換變量，將把陌生的式子變為熟悉的形式，方便我們快速解題.換元的難點在于準確的找出式子中的可換部分，這一部分可以是一個組合式，然后我們通過設元來代替它，通過一系列計算將式子簡化，然后在將元替換回來達到快速準確解題.

換元的優點在于使復雜問題簡單化，變得容易處理.換元思想可以應用于很多類型的題型中，主要形式可以是降次、變分式為整式等，在許多的問題中都可以用到.③ 例如，

已知：x=2，y=3，求（2x+2y）·（2x-6y）-（2x+2y）·（4x+6y）.

就可以設t=（2x+2y），

化簡上述方程式得到t·（-2x），

得到結果為-40.

（2）逆向思維.高中數學題中，選擇是一塊占很大分值的題.在做選擇題時很多時候我們不能直接找到正確的答案，這時我們需要進行答案排除，這也是數學解題中一個重要的思路.同樣，我們在做證明題時還可以用到反證法，或者在一些不需要計算過程的試題中使用結論反推過程的方法來進行解題.在使用這一解題思路時，需要注意思維的縝密型，還要對數學的定理、公式以及他們的變形熟練掌握，因為如果依據是錯的，那么往往不會得到正確的答案.

（3）歸納思想.高中數學很多知識都來源于試題之中，我們需要不斷地解試題來鞏固理論知識，熟悉解題方法.在做試題的過程中我們可以對做過的題型進行有效的歸納.許多題型都是老題型的變形，我們在做試題時很多時候可以輕易想到這類試題的考點和難點.所以，我們平時在做試題時，要學會歸納，把做過的題型進行記錄梳理，找出最優解法.對于涉及的知識點內容要進行復習.這樣我們在此遇到類似的題目時，就可以想到這一類試題的考點內容，我們就能更加快速地進行解題.當我們把所有類型的試題都歸納全面時，我們在進行數學解題時就可以非常熟練了.

四、結束語

許多同學普遍反映對于課堂上教師講授的內容都沒有深入理解，學生只是單純的可以聽懂教師講授的知識點，但是仍然不能夠很熟練地運用到解題中.高中的數學需要不斷地總結解題方法，并且還要注意多做題來進行鞏固，這樣才能熟練解題.高中數學是一個不斷積累和學習的過程，需要在學習中不斷培養自己的解題思路，養成自己的解題習慣，同時還要靈活的掌握和運用各種解題方法，這樣才能更快、更準確地做好數學試題.以上是我對高中數學一些粗淺的認識，希望可以給大家起到借鑒的作用.

【參考文獻】

[1]袁昕晨.“數形結合”——高中代數解題的分析[J].考試周刊，2018（28）：108.

[2]竇立群.高中數學教學中如何化錯為利[J].考試周刊，2018（25）：83.