解析運用簡單線性規劃思想求最值問題

紀智斌

【摘要】 線性規劃是高中數學的重要基礎知識，是高考的重點內容，尤其運用線性規劃思想求最值在高考中出現的頻率較高.研究得知，這類題目難度不大，為避免學生在高考中失分，教學實踐中教師應注重相關題型的講解，不斷提高學生的解題能力，使學生在高考中取得理想成績.

【關鍵詞】 線性規劃;思想;求最值;問題

一、線性目標函數求最值

線性目標函數求最值是學生最先接觸的一類題型，難度不大，解答該類題目的關鍵在于根據已知條件正確畫出可行域.對于可行域為封閉圖形的試題而言，要求函數的最值一般在頂點或封閉圖形的邊界取得，因此，學生還應正確計算出交點坐標.

例1?? 已知x，y滿足 x-4y≤-3，3x+5y≤25，x≥1，? 求z=2x+y的最值.

分析? 解答該題目時，首先畫出可行域范圍，如圖1所示，畫出2x+y=0的直線，通過平移可知，z在B點取得最小值，在A點取得最大值.通過聯立對應不等式，不難解出B（1，1），A（5，2）代入的z的最小值為3，最大值為12.

求解線性目標函數最值時，為保證解題正確性，應注意：（1）對于選擇題型，可通過代入特殊值進行判斷，例如，若直線不過原點，可將原點代入進行分析.（2）看清約束條件中的不等號是否有等號，含等號則畫實線，不含等號畫虛線.

二、非線性目標函數求最值

非線性目標函數求最值類型的題目難度中等，解題時需要學生進行適當轉化，或能夠看出目標函數表示的幾何意義，利用數形結合方法進行求解，因此，解答該類題目時，學生先不要動筆，應冷靜的分析，找到解題突破口.

例2?? 已知實數x，y滿足 x+y-3≥0，x-y+1≥0，x≤2，? 若z=x2+y2，求z的最大值與最小值.

分析? 解答該題目時，根據約束條件正確畫出可行域對學生而言難度不大，但部分學生對z=x2+y2的理解不深入，不知如何求解.事實上，其表示的幾何意義為可行域上的點到原點距離的平方.通過這樣的分析，便不能進行求解.由已知條件，畫出圖2可行域.

過原點作和x+y-3=0垂直的直線l.垂足為N，顯然直線l的方程為y=x，聯立方程組 x+y-3=0，y=x，? 可得N點坐標? 3 2 ， 3 2? ，其在線段AB上，也在可行域內.由圖形可知 點M到原點的距離最大，點N到原點的距離最小，顯然|OM|= 13 ，|ON|=? 9 2? ，即，z=x2+y2的最大值為13，最小值為 9 2 .

非線性函數求最值主要利用其幾何意義進行求解，其中（x-a）2+（y-b）2， y-b x-a ，|Ax+By+C|類型的非線性函數較為常見，其中（x-a）2+（y-b）2表示的幾何意義為點（x，y）和點（a，b）距離的平方. y-b x-a 表示點（x，y）和點（a，b）連線的斜率.|Ax+By+C|表示點（x，y）到直線Ax+By+C=0距離的 A2+B2 倍.

三、實際應用中求最值

線性規劃在解決實際問題中應用廣泛，相關題目在高考中多有體現.該類題目需要學生從題干中找到約束條件，而后進行求解，難度相對較大，重點考查學生運用所學解決實際問題的能力，因此，教學實踐中，教師應多注重該類型題目的講解.

例3?? 某電腦用戶準備花費500元購買軟件及磁盤，其中軟件單價60元，磁盤單價70元，軟件購買數量不能少于3套，磁盤不能少于2個，共有多少種選擇方法？兩種商品最多能買多少？

分析? 該題目創設的情景并不復雜，顯然需要根據題干條件，準確找到約束條件而后進行解答，但需要注意的是該題目與一般線性規劃類的題目不同，求解的參數均為整數.設軟件購買套數為x套，磁盤購買個數為y個，一共購買z張，根據題目表述，得出以下約束條件：

x≥3，y≥2，60x+70y≤500，x，y∈ N *，

其中目標函數為z=x+y.

求解時根據約束條件畫出圖3.

由圖3可清晰地看到滿足條件的坐標共有7個，分別為（3，4），（4，3），（3，3），（6，2），（5，2），（4，2），（3，2）說明滿足題意的方案共7套.利用平行法找最優點，可知最優點為（6，2），即，軟件買6套，磁盤買2片.

應用線性規劃思想求解實際問題時，為保證解題的正確性，學生應認真讀題，理清參數間的關系，列出正確的約束條件，正確確定目標函數，一定要注意參數的取值，既要滿足約束條件，又要滿足實際情況.

四、結 論

線性規劃是高中數學重要的知識點，相關題型常出現在高考中，包括線性目標函數求最值、非線性目標函數求最值、實際應用題型等，難度一般不大.為避免學生失分，提高解題正確率，教學實踐中，教師應做好該類題型的總結，并根據不同題型講解具體的題目，使學生掌握解答相關題型的技巧及注意事項.

【參考文獻】

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