2017年北京卷拋物線大題分析

金鑫 費連花

一、背景分析

1.研究對象是y2=2px（p>0）的拋物線，過y軸一定點P（且不為原點O）的動直線被拋物線所截弦為AB，設kOA+kOB=k，求證k為定值.

證明? lPA： x a + y b =1， ①

C：y2=2px（p>0）， ②

k= y1 x1 + y2 x2 = y1? y21 2p? + y2? y22 2p? =2p y1+y2 y1y2 ，

將①代入到②式中，消x得y2=2pa 1- y b? ，

整理得y2+ 2pa b y-2pa=0，

由韋達定理得y1+y2=- 2pa b ，y1y2=-2pa，∴k= 2p b .

2.過A作x軸的垂線交OB于點A′，取AA′中點M，判斷M點與x軸的位置關系.

解? 設A，B兩點坐標分別為（xA，yA）（xB，yB）.

lOB：y= y2 x2 x，yA′= y2 x2 x，yM= y1+ y2 x2 x1 · 1 2 = x1 2?? y1 x1 + y2 x2? = p b x1.

這說明P點在y軸正半軸上，M點必在x軸上方，反之在下方.

3.求出射線OM的方程.

答：y= p b x（x>0），說明此射線位置確定.

結論：kOA+kOB=2kOM，三條直線斜率成等差數列.

4.M點軌跡.

解? M x1， p b x1 ，對應參數方程 x=x1，y= p b x1，

∴y= p b x（x>0）為M點軌跡.

注意3，4對應的方程是完全一樣的.

5.求出Q點坐標.

解? y= p b x（x>0）， ①

y2=2px（p>0）. ②

聯立得x= 2b2 p ，y=2b，Q? 2b2 p ，2b .

二、結論分析

以上的5個結論始于P點，而P點的位置是y軸非原點，也可以理解成是過拋物線頂點且垂直于對稱軸的直線上的點（異于頂點）.筆者通過斜率的關系將過P點的直線與拋物線交出的交點弦的特征給出，筆者希望讀者能夠理解P點作為圖形的先天環境之一，甚至是某些結論的決定因素，從另一個角度來說它是一個動因，它的位置影響著斜率和的值是否為定值，影響著M點的位置，影響著M的軌跡，影響著Q點位置.本文通過坐標法講解，所以參量b作為動因P的代數形態表達，那么所有能用b表達的量且其他量確定的情況下，因P動而動，反之因P定而定之.

三、真題分析

2017（北京·理科）18題：已知拋物線C：y2=2px過點P（1，1），過點 0， 1 2? 作直線l與拋物線C交于不同的兩點M，N，過點M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點A，B，其中O為原點.

（Ⅰ）求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程;（解答略）

（Ⅱ）求證：A為線段BM的中點.

（Ⅱ）初步分析：筆者在背景分析中為讀者提供了這個高考題的原始形成過程，當然這并不能直接讓讀者受益，希望讀者能夠明白，我們可以根據研究其形成過程去對題目改編及創造或者重新賦值，接下來我們對這個高考題的數據進行具體的測試.

我們假設已知A為線段BM的中點，然后找出影響的那個Q點，由題可知p= 1 2 .

由背景分析中的5號結論可得Q（1，1），當然這里如果是筆者的話，會考慮直接賦這個值，反推出這個拋物線方程然后去編題.

深度分析：現在來看，這個題目是先找到Q點然后編輯的題目，但是考生并不會立刻判斷出這個Q點竟然如此特殊，考生往往以為條件用過一次可以忽略了，其實不然，還有一個問題就是考生總是怕設斜率k，因為設了以后他就知道聯立韋達，其實我們很有必要對它進行真假動因的判斷，而這種判斷往往需要一定的計算能力，筆者在這個題目的分析中沒有用斜截式，而是截距式.最后我們來說一下第二問的思路，分別計算BM中點坐標，還有BM和OP交點坐標，判斷重合即可.