向量基底法的應用

邵思青

【摘要】 向量基底法是平面向量基本定理應用的表現形式之一，也是高考熱點問題之一.本文結合實例，探究向量基底法在解題中的應用.

【關鍵詞】 向量基底法;應用

向量基底法是高三復習中大家關注的熱點問題.筆者就高三一堂向量復習課中學生出現的一些問題，簡要闡述向量基底法的應用在解題中的作用.

例1?? 如圖所示，在邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E為BC中點，則AE ·BD = .

學生解法：AE ·BD =（AC +CE ）·BD =AC ·BD +CE ·BD =CE ·BD =|CE |·|BD |·cos120°=1×2× - 1 2? =-1.

學生的思維比較直接，就題中的條件直接應用，充分利用菱形對角線互相垂直，值得稱贊.筆者在點評時肯定了這一點，但同時，筆者將條件改為平行四邊形，AB=3，其余條件不變，學生立刻知道以上方法行不通了，因為AC和BD不垂直了.那么有沒有具有普遍性的解法呢？筆者引導學生思考給出另一條思路，聯系平面向量基本定理，用基底來表示未知向量，即我們常說的向量基底法.它充分體現了解題時的轉化思想.

學生：設AB = a ，AD = b ，∴ a · b =| a |·| b |cos60°=2，

∴AE =AB +BE = a + 1 2? b ，BD =AD -AB = b - a ，

∴AE ·BD =? a + 1 2? b ）（ b - a

= a · b - a 2+ 1 2? b 2- 1 2? a · b

=- a 2+ 1 2? a · b + 1 2? b 2

=-22+ 1 2 ×2+ 1 2 ×22

=-1.

點評：用已知向量作基底來表示未知向量是基底法的常見形式，這種解法就無懼剛才的變式，即使把AB長度變為3，也能迅速解決，體現了這種解法的普遍性.

在運用基底法解決向量問題時，除了用已知向量表示未知向量外，也可以用未知向量表示已知向量.筆者在課堂上沒有直接告訴學生這點，而是給出了例題2讓學生思考.

例2?? 在△ABC中，M是BC的中點，AM=3，BC=10，則AB ·BC = .

學生解法：

AB ·AC =（AM +MB ）（AM +MC ）

=AM 2+AM ·MC +AM ·MB +MB ·MC

=AM 2+AM （MB +MC ）+MB ·MC .

∵MB =-MC ，BC=10，AM=3，

∴AB ·AC =32+5×5cosπ=-16.

點評：解法非常好，充分利用圖中已知向量AM ，MB ，MC 來表示未知向量AB ，AC ，體現了轉化思想，化未知為已知.筆者點評完之后，引導學生思考，可不可以化已知向量為未知向量呢？

師問：圖中已知向量有哪些？未知向量有哪些？

生答：已知向量AM ，BC ，MB ，MC ，未知向量AB ，AC .

師問：兩者之間有滿足的等式嗎？

生答：2AM =AB +AC ， ①

BC =AC -AB . ②

師問：欲求AB ·AC ，你能想到對①②兩式怎么處理？

生答：對兩式分別平方，因為平方后會出現欲求式AB ·AC .

師問：那多出的AB 2和AC 2怎么處理？

生答：兩式相減消去即可.

至此本題完美解決，回顧本題的解題過程，關鍵在于將已知向量用未知向量來表示這一向量基底法的應用，轉化思想體現得淋漓盡致.

波利亞認為，在解決一個自己感興趣的問題之后，要善于去總結一個模式（或稱為模型），并井然有序地儲備起來，以后才可以隨時支取它去解決類似的問題，進而提高自己的解題能力.在高三的復習教學中，作為教師一定要引導學生不斷地總結，加大模式儲備，提高自身的解題能力.

【參考文獻】

[1]唐萬年.高中數學中的向量探究[J].新課程（下），2018（1）：354.

[2]廖克杰.向量復習應注意的幾個問題[J].廣西教育B（中教版），2005（8）：25-26.